《现代控制理论基础》第四章(讲义) 综合部分 第四章线性多变量系统的综合与设计 4.1引言 前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系统的描述主要解决系统的建模、各种 数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等;系统的分析,则主要研究系统 的定量变化规律(如状态方程的解,即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)。而综合与设计问题则与此相反,即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上,寻求控制规律,以使系统具有某种期望的性能。一般说来,这种控制规律常取反 馈形式,因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面,反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开 环系统。在本章中,我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础,仍然在时域中讨论线性 反馈控制规律的综合与设计方法。 4.1.1问题的提法 给定系统的状态空间描述 Q=[B:AB∷…A"B 若再给定系统的某个期望的性能指标,它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量 过渡过程时间、极、零点,也可以是使某个性能函数取极小或极大。此时,综合问题就是 寻求一个控制作用u,使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。 对于线性状态反馈控制律 u=-Kx+r 对于线性输出反馈控制律 u=-Hy+r 其中r∈R为参考输入向量。 由此构成的闭环反馈系统分别为 (A- BK)x+ Br y (A- BHC )x+ Br V=Cx 闭环反馈系统的系统矩阵分别为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) III、综合部分 第四章 线性多变量系统的综合与设计 4.1 引言 前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系统的描述主要解决系统的建模、各种 数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统 的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)。而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。一般说来，这种控制规律常取反 馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开 环系统。在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性 反馈控制规律的综合与设计方法。 4.1.1 问题的提法 给定系统的状态空间描述 [ ] 1 Q B AB A B n− = 若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、 过渡过程时间、极、零点)，也可以是使某个性能函数取极小或极大。此时，综合问题就是 寻求一个控制作用 u，使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。 对于线性状态反馈控制律 u = −Kx + r 对于线性输出反馈控制律 u = −Hy + r 其中 r r R 为参考输入向量。 由此构成的闭环反馈系统分别为 y Cx x A BK x Br = = ( − ) + 或 y Cx x A BHC x Br = = ( − ) + 闭环反馈系统的系统矩阵分别为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) A =A- BK A-BHC 即∑k=(A-BK,B,C)或∑n=(A-BHC,BC) 闭环传递函数矩阵 GK(s)=C-[s/-(A-BK)]B Gu(s)=C-[s/-(A-BHC)J-B 我们在这里将着重指出,作为综合问题,将必须考虑三个方面的因素,即1)抗外部干 扰问题;2)抗内部结构与参数的摄动问题,即鲁棒性( Robustness)问题:3)控制规律的工程 实现问题。 般说来,综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑工程可实现或可行的前提下 来确定控制规律ω;而对设计,则还必须考虑许多实际问题,如控制器物理实现中线路的选 择、元件的选用、参数的确定等。 4.1.2性能指标的类型 总的说来,综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。两者的 差别为:非优化型指标是一类不等式型的指标,即只要性能值达到或好于期望指标就算是实 现了综合目标,而优化型指标则是一类极值型指标,综合目标是使性能指标在所有可能的控 制中使其取极小或极大值 对于非优化型性能指标,可以有多种提法,常用的提法有: 1、以渐近稳定作为性能指标,相应的综合问题称为镇定问题 2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标,相应的综合问题称为极点配置问题。从 线性定常系统的运动分析中可知,如时域中的超调量、过渡过程时间及频域中的增益稳定裕 度、相位稳定裕度,都可以被认为等价于系统极点的位置,因此相应的综合问题都可视为极 点配置问题 3、以使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指 标,相应的综合问题称为解耦问题。在工业过程控制中,解耦控制有着重要的应用 4、以使系统的输出υ(1)无静差地跟踪一个外部信号y(1)作为性能指标,相应的综合问 题称为跟踪问题。 对于优化型性能指标,则通常取为相对于状态x和控制u的二次型积分性能指标,即 ()=(x1Qx+7/a)h 其中加权阵Q=Q>0或≥0,R=R>0且(A,Q"2)能观测。综合的任务就是确定 a'(t),使相应的性能指标J(u'(t)极小。通常,将这样的控制a'(t)称为最优控制,确切 地说是线性二次型最优控制问题,即LQ调节器问题
《现代控制理论基础》第四章(讲义) AK = A− BK AH = A− BHC 即 (A BK,B,C) K = − 或 (A BHC,B,C) H = − 。 闭环传递函数矩阵 GK s C sI A BK B 1 1 ( ) [ ( )] − − = − − GH s C sI A BHC B 1 1 ( ) [ ( )] − − = − − 我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即 1)抗外部干 扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程 实现问题。 一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑工程可实现或可行的前提下， 来确定控制规律 u；而对设计，则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选 择、元件的选用、参数的确定等。 4.1.2 性能指标的类型 总的说来，综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。两者的 差别为：非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算是实 现了综合目标，而优化型指标则是一类极值型指标，综合目标是使性能指标在所有可能的控 制中使其取极小或极大值。 对于非优化型性能指标，可以有多种提法，常用的提法有： 1、以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题； 2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题称为极点配置问题。从 线性定常系统的运动分析中可知，如时域中的超调量、过渡过程时间及频域中的增益稳定裕 度、相位稳定裕度，都可以被认为等价于系统极点的位置，因此相应的综合问题都可视为极 点配置问题； 3、以使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指 标，相应的综合问题称为解耦问题。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用； 4、以使系统的输出 y(t)无静差地跟踪一个外部信号 ( ) 0 y t 作为性能指标，相应的综合问 题称为跟踪问题。 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，即 = + 0 J(u(t)) (x Qx u Ru)dt T T 其中加权阵 = 0 T Q Q 或 0 ， = 0 T R R 且 ( , ) 1/ 2 A Q 能观测。综合的任务就是确定 u (t) ，使相应的性能指标 J (u (t)) 极小。通常，将这样的控制 u (t) 称为最优控制，确切 地说是线性二次型最优控制问题，即 LQ 调节器问题
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.1.3研究综合问题的主要内容 主要有两个方面: 1、可综合条件可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立,可避 免综合过程的盲目性。 2、控制规律的算法问题这是问题的关键。作为一个算法,评价其优劣的主要标准是 数值稳定性,即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说,如果问 题不是病态的,而所采用的算法又是数值稳定的,则所得结果通常是好的。 4.1.4工程实现中的一些理论问题 在综合问题中,不仅要研究可综合条件和算法问题,而且要研究工程实现中提出的一系 列理论问题。主要有: l、状态重构问题由于许多综合问题都具有状态反馈形式,而状态变量为系统的内 部变量,通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测,解决这一矛盾的途径是:利用 可量测输出y和输入u来构造出不能量测的状态x,相应的理论问题称为状态重构问题,即 观测器问题和 Kalman滤波问题。 2、鲁棒性( Robustness)问题 3、抗外部干扰问题 本章的组织结构如下。本章将首先讨论极点配置问题。将讨论利用极点配置方法来设计 控制系统。这里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系统,使其在规定的时间内,返回到垂 直位置:其次还将讨论状态观测器的设计:最后研究含积分器的伺服系统和不含积分器的伺 服系统。我们将设计一个倒立摆系统,当我们施加于小车一个阶跃输入时,仍可使该系统稳 定(也就是说,摆不会倒下来) 本章41节为引言。42节将讨论控制系统设计的极点配置方法,给出问题提法、可配 置条件及极点配置的算法。43节将介绍利用 MATLAB求解极点配置问题,并给出用于极 点配置设计的 MATLAB程序。44节以倒立摆为例,给出用极点配置方法设计调节器型系 统的一个例子,并分别介绍分析解法和 MATLAB解法 4.5节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器均将进行讨论,将介绍3种确定观 测器增益矩阵Ke的方法,并引入控制器-观测器概念。46节讨论利用 MATLAB设计状态观 测器。4.7节研究伺服系统的设计,将讨论当含有积分器和不含积分器时I型伺服系统的设 计。48节介绍用 MATLAB设计控制系统的一个例子,将用 MATLAB设计倒立摆控制系统 通过使用 MATLAB,可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线 4.2极点配置问题 本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为s=1,s=2;…,s=n。我们将 证明,如果被控系统是状态能控的,则可通过选取一个合适的状态反馈増益矩阵K,利用状 态反馈方法,使闭环系统的极点配置到任意的期望位置 这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明在s平面上将一个系统的闭环极点配置 到任意位置的充要条件是该系统状态完全能控。我们还将讨论3种确定状态反馈增益矩阵的
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.1.3 研究综合问题的主要内容 主要有两个方面： 1、可综合条件 可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立，可避 免综合过程的盲目性。 2、控制规律的算法问题 这是问题的关键。作为一个算法，评价其优劣的主要标准是 数值稳定性，即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说，如果问 题不是病态的，而所采用的算法又是数值稳定的，则所得结果通常是好的。 4.1.4 工程实现中的一些理论问题 在综合问题中，不仅要研究可综合条件和算法问题，而且要研究工程实现中提出的一系 列理论问题。主要有： 1、状态重构问题 由于许多综合问题都具有状态反馈形式，而状态变量为系统的内 部变量，通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测，解决这一矛盾的途径是：利用 可量测输出 y 和输入 u 来构造出不能量测的状态 x，相应的理论问题称为状态重构问题，即 观测器问题和 Kalman 滤波问题。 2、鲁棒性(Robustness)问题 3、抗外部干扰问题 本章的组织结构如下。本章将首先讨论极点配置问题。将讨论利用极点配置方法来设计 控制系统。这里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系统，使其在规定的时间内，返回到垂 直位置；其次还将讨论状态观测器的设计；最后研究含积分器的伺服系统和不含积分器的伺 服系统。我们将设计一个倒立摆系统，当我们施加于小车一个阶跃输入时，仍可使该系统稳 定（也就是说，摆不会倒下来）。 本章 4.1 节为引言。4.2 节将讨论控制系统设计的极点配置方法，给出问题提法、可配 置条件及极点配置的算法。4.3 节将介绍利用 MATLAB 求解极点配置问题，并给出用于极 点配置设计的 MATLAB 程序。4.4 节以倒立摆为例，给出用极点配置方法设计调节器型系 统的一个例子，并分别介绍分析解法和 MATLAB 解法。 4.5 节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器均将进行讨论，将介绍 3 种确定观 测器增益矩阵 Ke 的方法，并引入控制器-观测器概念。4.6 节讨论利用 MATLAB 设计状态观 测器。4.7 节研究伺服系统的设计，将讨论当含有积分器和不含积分器时 I 型伺服系统的设 计。4.8 节介绍用 MATLAB 设计控制系统的一个例子，将用 MATLAB 设计倒立摆控制系统。 通过使用 MATLAB，可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线。 4.2 极点配置问题 本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为 s =μ1，s =μ2,…，s =μn。我们将 证明，如果被控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵 K，利用状 态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。 这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明在 s 平面上将一个系统的闭环极点配置 到任意位置的充要条件是该系统状态完全能控。我们还将讨论 3 种确定状态反馈增益矩阵的
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 方法。 应当注意,当控制输入为向量时,极点配置方法的数学表达式十分复杂,本书将不讨论 这种情况。还应注意,当控制输入是向量时,状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地 选择多于n个参数,也就是说,除了适当地配置n个闭环极点外,即使闭环系统还有其他需 求,也可满足其部分或全部要求 4.2.1问题的提法 前面我们己经指出,在经典控制理论的系统综合中,不管是频率法还是根轨迹法,本质 上都可视为极点配置问题。 给定单输入单输出线性定常被控系统 4.1) 式中x(1)∈R,u(t)∈R,A∈Rm,B∈R。 选取线性反馈控制律为 这意味着控制输入由系统的状态反馈确定,因此将该方法称为状态反馈方法。其中1×n维 矩阵K称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中,假设u不受约束 图41(a)给出了由式(41)所定义的系统。因为没有将状态x反馈到控制输入中 所以这是一个开环控制系统。图4.1(b)给出了具有状态反馈的系统。因为将状态x反馈到 了控制输入u中,所以这是一个闭环反馈控制系统 (缺图,见更新版) 图4.1(a)开环控制系统(b)具有u=-Kx的闭环反馈控制系统 将式(4.2)代入式(4.1),得到 x(1)=(A-BK)x() 该闭环系统状态方程的解为 x()=e(4-B)x(0) 式中x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征 值决定。如果矩阵K选取适当,则可使矩阵A-BK构成一个渐近稳定矩阵,此时对所有的 x(0)≠0,当t→∞时,都可使x(→0。一般称矩阵A-BK的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于s的左半平面内,则当t→∞时,有x(1)→0。因此我们将这种使闭环 系统的极点任意配置到所期望位置的问题,称之为极点配置问题 下面讨论其可配置条件。我们将证明,当且仅当给定的系统是状态完全能控时,该系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 方法。 应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法的数学表达式十分复杂，本书将不讨论 这种情况。还应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地 选择多于 n 个参数，也就是说，除了适当地配置 n 个闭环极点外，即使闭环系统还有其他需 求，也可满足其部分或全部要求。 4.2.1 问题的提法 前面我们已经指出，在经典控制理论的系统综合中，不管是频率法还是根轨迹法，本质 上都可视为极点配置问题。 给定单输入单输出线性定常被控系统 x = Ax + Bu (4.1) 式中 1 1 ( ) , ( ) , , n n n n x t R u t R A R B R 。 选取线性反馈控制律为 u = −Kx (4.2) 这意味着控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。其中 1×n 维 矩阵 K 称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中，假设 u 不受约束。 图 4.1（a）给出了由式（4.1）所定义的系统。因为没有将状态 x 反馈到控制输入 u 中， 所以这是一个开环控制系统。图 4.1（b）给出了具有状态反馈的系统。因为将状态 x 反馈到 了控制输入 u 中，所以这是一个闭环反馈控制系统。 （缺图，见更新版） 图 4.1 (a) 开环控制系统 (b) 具有 u = −Kx 的闭环反馈控制系统 将式（4.2）代入式（4.1），得到 x (t) = (A − BK)x(t) 该闭环系统状态方程的解为 ( ) (0) ( ) x t e x A−BK t = (4.3) 式中 x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵 A-BK 的特征 值决定。如果矩阵 K 选取适当，则可使矩阵 A-BK 构成一个渐近稳定矩阵，此时对所有的 x(0)≠0，当 t → ∞时，都可使 x(t) → 0。一般称矩阵 A-BK 的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于 s 的左半平面内，则当 t → ∞时，有 x(t) → 0。因此我们将这种使闭环 系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称之为极点配置问题。 下面讨论其可配置条件。我们将证明，当且仅当给定的系统是状态完全能控时，该系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的任意极点配置才是可能的 4.2.2可配置条件 考虑由式(4.1)定义的线性定常系统。假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取 控制规律为 Kx 式中K为线性状态反馈矩阵,由此构成的系统称为闭环反馈控制系统,如图4.1(b)所示。 现在考虑极点的可配置条件,即如下的极点配置定理 定理41(极点配置定理)线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是,此被控系统状态完全能控。 证明;由于对多变量系统证明时,需要使用循环矩阵及其属性等,因此这里只给出单输 入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是,这一定理对多变量系统也是完全成立的 1°必要性。即已知闭环系统可任意配置极点,则被控系统状态完全能控 现利用反证法证明。先证明如下命题:如果系统不是状态完全能控的,则矩阵A-BK的 特征值不可能由线性状态反馈来控制 假设式(41)的系统状态不能控,则其能控性矩阵的秩小于n,即 ra[B:AB:…:A"B]=q<n 这意味着,在能控性矩阵中存在q个线性无关的列向量。现定义q个线性无关列向量为 f,J2,…,J,选择nq个附加的n维向量vg+,vq+2,…,Vn,使得 P=[f1:f2 的秩为n。因此,可证明 Bu A PAP A12 B=PB 0 这些方程的推导可见例47。现定义 K=KP=k,: k,I 则有
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的任意极点配置才是可能的。 4.2.2 可配置条件 考虑由式（4.1）定义的线性定常系统。假设控制输入 u 的幅值是无约束的。如果选取 控制规律为 u = −Kx 式中 K 为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统，如图 4.1（b）所示。 现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。 定理 4.1 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是，此被控系统状态完全能控。 证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵及其属性等，因此这里只给出单输 入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。 o 1 必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状态完全能控。 现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵 A-BK 的 特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设式（4.1）的系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于 n，即 rank B AB A B q n n = − [ ] 1 这意味着，在能控性矩阵中存在 q 个线性无关的列向量。现定义 q 个线性无关列向量为 q f , f , , f 1 2 ，选择 n-q 个附加的 n 维向量 q q n v , v , , v +1 +2 ，使得 [ ] 1 2 q q 1 q 2 n P f f f v v v = + + 的秩为 n 。因此，可证明 = = = = − − 0 ˆ , 0 ˆ 11 1 22 1 11 12 B B P B A A A A P AP 这些方程的推导可见例 4.7。现定义 [ ] ˆ 1 2 K = KP = k k 则有
《现代控制理论基础》第四章(讲义) -A+BK1=|P-(s1-4+BK)P s/-P-AP+P-BKP =s/-A+BK I A1A121.「B [k1:k2] 042L0 I sIa-An+B,+k, -A12+B,k2 -Au+B,k,sI n-g -a22l 式中,l是一个q维的单位矩阵,n是一个nq维的单位矩阵。 注意到A2的特征值不依赖于K。因此,如果一个系统不是状态完全能控的,则矩阵的 特征值就不能任意配置。所以,为了任意配置矩阵A-BK的特征值,此时系统必须是状态完 全能控的 2°充分性。即已知被控系统状态完全能控(这意味着由式(4.5)给出的矩阵Q有逆), 则矩阵A的所有特征值可任意配置。 在证明充分条件时,一种简便的方法是将由式(4.1)给出的状态方程变换为能控标准 定义非奇异线性变换矩阵P为 P=ON (44) 其中Q为能控性矩阵,即 0=[B: AB B] 式中a1为如下特征多项式的系数。 定义一个新的状态向量x, Px 如果能控性矩阵Q的秩为n(即系统是状态完全能控的),则矩阵ρ的逆存在,并且可 将式(4.1)改写为 x=Ax+B 其中
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 [ ] 0 0 | ˆ ˆ ˆ | ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 = − + − = − − + + − + = + = − = − + = − + − + = − + − − − − − sI A B k sI A sI A sI A B k A B k k k B A A A sI sI A BK sI P AP P BKP sI A BK P sI A BK P q n q n q q 式中， q I 是一个 q 维的单位矩阵， n q I − 是一个 n-q 维的单位矩阵。 注意到 A22 的特征值不依赖于 K。因此，如果一个系统不是状态完全能控的，则矩阵的 特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵 A-BK 的特征值，此时系统必须是状态完 全能控的。 o 2 充分性。即已知被控系统状态完全能控（这意味着由式（4.5）给出的矩阵 Q 有逆）， 则矩阵 A 的所有特征值可任意配置。 在证明充分条件时，一种简便的方法是将由式（4.1）给出的状态方程变换为能控标准 形。 定义非奇异线性变换矩阵 P 为 P = Q W （4.4） 其中 Q 为能控性矩阵，即 [ ] 1 Q B AB A B n− = (4.5) = − − − − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 1 a a a a a a W n n n n (4.6) 式中 i a 为如下特征多项式的系数。 n n n n sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1 定义一个新的状态向量 x ˆ ， x = Px ˆ 如果能控性矩阵 Q 的秩为 n（即系统是状态完全能控的），则矩阵 Q 的逆存在，并且可 将式（4.1）改写为 x ˆ = Ac x ˆ + Bcu (4.7) 其中
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 0 0 A=PAP 0 a -a B=P-B 式(48)和(49)的推导见例48和例49。式(4.7)为能控标准形。这样,如果系统是状 态完全能控的,且利用由式(44)给出的变换矩阵P,使状态向量x变换为状态向量x,则 可将式(4.1)变换为能控标准形。 选取一组期望的特征值为μ1,μ2,…,n,则期望的特征方程为 (s-/1)s-2)…(s-n)=s"+a1s"+an-1s+an=0 设 K KP=88 6] 由于=-K=-KB,从而由式(4.7),此时该系统的状态方程为 Ax-B Kx 相应的特征方程为 -4+BN=0 事实上,当利用u=-Kx作为控制输入时,相应的特征方程与式(4.11)的特征方程 相同,即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于 该系统的特征方程为 /-A+BK= p"(sl-A+ BK)P)=lsl-P-AP+P-BKP[=1s1-A+BK=0 对于上述能控标准形的系统特征方程,由式(4.8)、(4.9)和(4.11),可得 0 -4+B 1]
《现代控制理论基础》第四章(讲义) − − − − = = − − − 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a a a a A P AP n n n c (4.8) = = − 1 0 0 0 1 B P B c (4.9) 式（4.8）和（4.9）的推导见例 4.8 和例 4.9。式（4.7）为能控标准形。这样，如果系统是状 态完全能控的，且利用由式（4.4）给出的变换矩阵 P，使状态向量 x 变换为状态向量 x ˆ ，则 可将式(4.1）变换为能控标准形。 选取一组期望的特征值为μ1，μ2，…，μn，则期望的特征方程为 ( )( ) ( ) 1 0 1 − 1 − 2 − = + 1 + − + = − n n n n s s s n s a s a s a (4.10) 设 [ ] ˆ K = KP = n n−1 1 (4.11) 由于 u Kx ˆ KPx ˆ = − ˆ = − ，从而由式(4.7)，此时该系统的状态方程为 x A x B Kx c c ˆ ˆ ˆ = ˆ − 相应的特征方程为 0 sI − Ac + BcK ˆ = 事实上，当利用 u = −Kx 作为控制输入时，相应的特征方程与式（4.11）的特征方程 相同，即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于 x = Ax + Bu = (A − BK)x 该系统的特征方程为 0 ˆ ( ) 1 1 1 − + = − + = − + = − + = − − − sI A BK P sI A BK P sI P AP P BKP sI Ac BcK 对于上述能控标准形的系统特征方程，由式（4.8）、(4.9)和（4.11），可得 [ ] 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ˆ 1 1 1 1 − − + − − − − + = − n n n n c c a a a sI A B K sI
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 (4.12) s+a,+d =s"+(a1+1)s+…+(an1+δn)s+(an+n)=0 这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程,它一定与式(4.10)的期望特征方程相 等。通过使s的同次幂系数相等,可得 a1+61=a1 a2 an+δn=an 对δi求解上述方程组,并将其代入式(4.11),可得 K=KP-=[8, On-1 ,P (.13) [an-an: an--a 因此,如果系统是状态完全能控的,则通过对应于式(4.13)所选取的矩阵A,可任意 配置所有的特征值 证毕 4.2.3极点配置的算法 现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法 给定线性定常系统 dx+ Bu 若线性反馈控制律为 Kx 则可由下列步骤确定使A-B的特征值为μ1,μ2,…,μ。(即闭环系统的期望极点值)的 线性反馈矩阵K(如果μi是一个复数特征值,则其共轭必定也是A-B的特征值) 第1步:考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的,则可按下列步骤继续。 第2步:利用系统矩阵A的特征多项式 det(sl-A)=[sl-A="+a,s-+.+am-5+a 确定出a1,a2…,an的值 第3步:确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 能控标准形,那么P=I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩 阵P可由式(4.4)给出,即 P=OI 式中Q由式(4.5)定义,W由式(4.6)定义。 第4步:利用给定的期望闭环极点,可写出期望的特征多项式为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + = + + + + − = − − − − − n n n n n n n n n n s a s a s a a a s a s s (4.12) 这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与式（4.10）的期望特征方程相 等。通过使 s 的同次幂系数相等，可得 + = + = + = n n n a a a a a a 2 2 2 1 1 1 对δi 求解上述方程组，并将其代入式（4.11），可得 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 [ ] [ ] ˆ − − − − − − = − − − − = = a a a a a a a a P K KP P n n n n n n (4.13) 因此，如果系统是状态完全能控的，则通过对应于式（4.13）所选取的矩阵 K，可任意 配置所有的特征值。 证毕 4.2.3 极点配置的算法 现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法。 给定线性定常系统 x = Ax + Bu 若线性反馈控制律为 u = −Kx 则可由下列步骤确定使 A-BK 的特征值为μ1，μ2，…,μn（即闭环系统的期望极点值）的 线性反馈矩阵 K（如果μi 是一个复数特征值，则其共轭必定也是 A-BK 的特征值）。 第 1 步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。 第 2 步：利用系统矩阵 A 的特征多项式 n n n n sI − A = sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1 det( ) 确定出 a a an , , , 1 2 的值。 第 3 步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 P。若给定的状态方程已是 能控标准形，那么 P = I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩 阵 P 可由式（4.4）给出，即 P = QW 式中 Q 由式（4.5）定义，W 由式（4.6）定义。 第 4 步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) -1)s-2) 并确定出a1,a2,,a的值 第5步:此时的状态反馈增益矩阵K为 K=la P 4.2.4注释 注意,如果是低阶系统(n≤3),则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式, 可能更为简便。例如,若n=3,则可将状态反馈增益矩阵K写为 K=[k1k2k3] 进而将该矩阵K代入期望的特征多项式-A+B,使其等于(s-1)s-2)s-3), s-A+B=(-H1Xs-12Xs-3) 由于该特征方程的两端均为s的多项式,故可通过使其两端的s同次幂系数相等,来确 定A,R2,R3的值。如果n=2或者n=3,这种方法非常简便(对于n=4,5,6,…,这种 方法可能非常繁琐)。 还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K。下面介绍著名的爱克曼公式,可用来确定状 态反馈增益矩阵K。 4.2.5爱克曼公式( Ackermann's formula) 考虑由式(4.1)给出的系统,重写为 =Ax+ Bu 假设该被控系统是状态完全能控的,又设期望闭环极点为s=1,S=μ2,…S=μn 利用线性状态反馈控制律 u=-Kx 将系统状态方程改写为 x=(A-BK)x (4.14) 定义 A=A-BK 则所期望的特征方程为 -A+BK|=-=(s-A1s-2)(s-,) a=0 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A应满足其自身的特征方程,所以
《现代控制理论基础》第四章(讲义) − − − − − = + + + n + n n n s s s n s a s a 1 s a 1 1 2 1 （ （) )（ ) 并确定出 a a an , , , 1 2 的值。 第 5 步：此时的状态反馈增益矩阵 K 为 1 1 1 2 2 1 1 [ ] − − − K = an − an an − an a − a a − a P 4.2.4 注释 注意，如果是低阶系统（n ≤3），则将线性反馈增益矩阵 K 直接代入期望的特征多项式， 可能更为简便。例如，若 n = 3，则可将状态反馈增益矩阵 K 写为 1 2 3 K = k k k 进而将该矩阵 K 代入期望的特征多项式 sI − A+ BK ，使其等于 ( )( )( ) − 1 − 2 − 3 s s s ， 即 ( )( )( ) − + = − 1 − 2 − 3 sI A BK s s s 由于该特征方程的两端均为 s 的多项式，故可通过使其两端的 s 同次幂系数相等，来确 定 k1，k2，k3 的值。如果 n = 2 或者 n = 3，这种方法非常简便（对于 n =4,5,6,…，这种 方法可能非常繁琐）。 还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵 K。下面介绍著名的爱克曼公式，可用来确定状 态反馈增益矩阵 K。 4.2.5 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（4.1）给出的系统，重写为 x = Ax + Bu 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为 n s = 1 ,s = 2 , ,s = 。 利用线性状态反馈控制律 u = −Kx 将系统状态方程改写为 x = (A − BK)x (4.14) 定义 A = A − BK ~ 则所期望的特征方程为： 0 ( )( ) ( ) ~ 1 1 1 1 2 = + + + + = − + = − = − − − − − n n n n n s a s a s a sI A BK sI A s s s 由于凯莱-哈密尔顿定理指出 A ~ 应满足其自身的特征方程，所以
《现代控制理论基础》第四章(讲义) d()=A”+ +an=0 我们用式(4.15)来推导爱克曼公式。为简化推导,考虑n=3的情况。对任意正整数, 下面的推导可方便地加以推广 考虑下列恒等式 A=A-BK A2=(A-BK)2=A2-ABK-BKA A=(A-BK)=A-A BK-ABKA-BKA2 将上述方程分别乘以a3a2,a,a(a=1),并相加,则可得 altaa+aa2+as a31+a2(A- BK)+a, (A -- BKA)+A A- BK-ABKA- BKA (4.16) a3 I+a2A+aA2+A'-a2 BK-aABK-a, BKA--A2BK ABKA-BKA2 参照式(4.15)可得 +a2A+a1A2+A3=(A) 也可得到 A+a1A2+A=p(4)≠0 将上述最后两式代入式(4.16),可得 P(A)=P(A)-a BK-a BKA-BKA2-a' ABK-ABKA-A2BK 由于p(A)=0,故 P(A)=B(a,K+a,KA+KA)+AB(a,K+KA)+A BK a2K+a,KA+KA2 (4.17) [B: AB:A'B] a,k+ Ka 由于系统是状态完全能控的,所以能控性矩阵 O=[B: AB:A B] 的逆存在。在式(4.17)的两端均左乘能控性矩阵Q的逆,可得 +aka+Ka [B: AB:AB]-P(A) a,K+KA K
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 ~ ~ ~ ) ~ ( * * 1 * 1 = + 1 + + − + = − A A a A a A a I n n n n (4.15） 我们用式（4.15）来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑 n = 3 的情况。对任意正整数， 下面的推导可方便地加以推广。 考虑下列恒等式 3 3 3 2 2 2 2 2 ~ ~ ( ) ~ ~ ( ) ~ ~ A A BK A A BK ABKA BKA A A BK A ABK BKA A A BK I I = − = − − − = − = − − = − = 将上述方程分别乘以 , , , ( 1) * 0 * 0 * 1 * 2 * a3 a a a a = ，并相加，则可得 2 * 2 1 * 1 * 2 * 2 3 1 * 2 * 3 2 2 * 2 3 1 * 2 * 3 * 2 3 1 * 2 * 3 ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ( ) ( ~ ~ ~ ABKA BKA a I a A a A A a BK a ABK a BKA A BK A BK ABKA BKA a I a A BK a A ABK BKA A a I a A a A A − − = + + + − − − − − − − − = + − + − − + + + + （4.16） 参照式（4.15）可得 ) 0 ~ ( ~ * ~2 ~3 1 * 2 * a3 I + a A + a A + A = A = 也可得到 ( ) 0 * 2 3 1 * 2 * a3 I + a A + a A + A = A 将上述最后两式代入式（4.16），可得 A A a BK a BKA BKA a ABK ABKA A BK * 2 1 * 2 1 * 2 ~ ~ ~ ) ( ) ~ ( = − − − − − − 由于 ) 0 ~ (A = ，故 + + + = = + + + + + K a K KA a K a KA KA B AB A B A B a K a KA KA AB a K KA A BK ~ ~ ~ [ ] ) ~ ) ( ~ ~ ( ) ( * 1 * 2 1 * 2 2 * 2 1 * 2 1 * 2 （4.17） 由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵 [ ] 2 Q = B AB A B 的逆存在。在式（4.17）的两端均左乘能控性矩阵 Q 的逆，可得 + + + = − K a K KA a K a KA KA B AB A B A ~ ~ ~ [ ] ( ) * 1 * 2 1 * 2 2 1