、例题精解 【例题31】在R、L、C元件串联的电路中,已知R=3092,L=127mH,C=40uF, 电源电压=220√2sin(314+20°)V。(1)求感抗、容抗和阻抗:(2)求电流的有效值 与瞬时值i的表达式;(3)求功率因数cosq;(4)求各部分电压的有效值与瞬时值的表 达式;(5)作相量图;(6)求功率P、Q和S 【解】(1)X1=0L=314×127×10-3=4092 OC314×40×10 2=VR2+(x1-x)2=02+(40-8)2=50 (2)U_220 =44A arctan arctan 53 =442sin(3141+20°+53)=442sin(3141+73°)A (3)cosq=cos(-53°)=06 (4)U=R=44×30=132V u2=132v2sin(314+73)V U1=X1=44×40=176V 1=176√2sin(314+73+90°)=176√2sin(314+163°)V Uc=lXc=44×80=352V n=352√2sin(3144+73°-90°)=3522sin(314-17°v 显然,U≠UR+U1+UC (5)相量图如图3.1所示。 (6) P=UI cos o 220×44×0.6 580.8W O=Ul sin= 220×44×sin(-53°)= 8)= 7744var(容性) S=UI=220×44=968VA 图3.1例题3.1的图 【例题3.2】试用相量(复数)计算上例中的电流/和各部分电压UR、U1及Uc 解】 U=220∠20V z=R+j(X1-Xc)=30+j(40-80)=30-j40=50∠-53
27 一、例题精解 【例题 3.1】在 R、L、C 元件串联的电路中，已知 R = 30Ω , L =127mH, C = 40µF， 电源电压 220 2 sin(314 20 ) o u = t + V。(1) 求感抗、容抗和阻抗；(2) 求电流的有效值 I 与瞬时值 i 的表达式；(3) 求功率因数cosϕ ；(4) 求各部分电压的有效值与瞬时值的表 达式；(5) 作相量图；(6) 求功率 P、Q 和 S。 【解】 (1) = = × × = Ω − 314 127 10 40 3 X L ωL = + − = + − = Ω = Ω × × = = − ( ) 30 (40 80) 50 80 314 40 10 1 1 2 2 2 L C 2 C 6 Z R X X C X ω (2) = = = 4.4Α 50 220 Z U I = + + = + Α = − − = − = 4.4 2 sin(314 20 53 ) 4.4 2 sin(314 73 ) 53 30 40 80 arctan arctan L C o o o o i t t R X X ϕ (3) cos = cos(−53 ) = 0.6 o ϕ (4) UR = IR = 4.4 × 30 =132V 352 2 sin(314 73 90 ) 352 2 sin(314 17 )V 4.4 80 352V 176 2 sin(314 73 90 ) 176 2 sin(314 163 )V 4.4 40 176V 132 2 sin(314 73 )V C C L L L R o o o o o o o = + − = − = = × = = + + = + = = × = = + u t t U IX u t t U IX u t 显然，U ≠ UR + UL + UC 。 (5) 相量图如图 3.1 所示。 (6) P =UI cosϕ = 580.8W 220 × 4.4 × 0.6 = Q =UI sinϕ = 774.4 var( ) 220 4.4 ( 0.8) 220 4.4 sin( 53 ) − 容性 × × − = × × − = o S =UI = 220 × 4.4 = 968VΑ 图 3.1 例题 3.1 的图 【例题 3.2】 试用相量（复数）计算上例中的电流 I & 和各部分电压UR & 、UL & 及UC & 。 【解】 220 20 V o U& = ∠ = + − = + − = − = ∠ − Ω o j( ) 30 j(40 80) 30 j40 50 53 Z R X L X C o 17 o 20 o 73 I & UR & U& UL & UL UC & + & UC &
电工学试题精选与答题技巧 U220∠2 4.4∠73°A 50∠-53 Ua=/R=44×30∠73=132∠73V UL=jL1=144×40∠73°=176∠163V Uc=-jXc=-4x80∠73°=352∠-17V 【例题3.2】图32(a)为RC移相电路。已知电阻R=1009,输入电压1的频率为 500Hz。如要求输出电压2的相位比输入电压的相位超前30°,则电容值应为多少? 【解】电路的相量图如图32(b)所示,由相量图可以看出 或者 R a)电路图 (b)相量图 图3.2例题3.3的图 因为 于是 OCR 即 OCR=√3 所以 C o22mfR2x×500100=52×10°F=552uF 【例题34】在图3.3(a)中,已知电源电压U=100∠0°,R1=R2=X1=Xc=50g2 试求Ua 【解】(1)用相量图求解:以电源电压U为参考相量,作出的相量图如图3.3(b)所 从相量图上可以看出,在数值上U=U=100V,在相位上Uab滞后U90°。所以, (2)用复数计算求解 100∠0° 100∠0° Ic 50-j50502+502∠-45° =√2∠45°A Xc=-j√2×50∠45°=50V2 U=U1=jX1=ⅳ2×50∠-45°=50√2∠45V 50√2∠-45°-50√2∠45
28 电工学试题精选与答题技巧 j j4.4 80 73 352 17 V j j4.4 40 73 176 163 V 4.4 30 73 132 73 V 4.4 73 50 53 220 20 C C L L R o o o o o o o o o & & & & & & & & = − = − × ∠ = ∠ − = = × ∠ = ∠ = = × ∠ = ∠ = ∠ Α ∠ − ∠ = = U IX U IX U IR Z U I 【例题 3.2】 图 3.2(a)为 RC 移相电路。已知电阻 R =100Ω ，输入电压 1 u 的频率为 500Hz。如要求输出电压 2 u 的相位比输入电压的相位超前 o 30 ，则电容值应为多少? 【解】 电路的相量图如图 3.2(b)所示，由相量图可以看出 o tan30 2 C = U U 即 o tan30 C = IR IX 或者 o tan30 C = R X (a) 电路图 (b) 相量图 图 3.2 例题 3.3 的图 因为 C X ω 1 C = 于是 3 1 tan30 1 = =o ωCR 即 ωCR = 3 所以 R C ω 3 = 5.52 10 F 5.52 2π 500 100 3 2π 3 6 = × = × × = = − fR µF 【例题 3.4】 在图 3.3 (a)中，已知电源电压 100 0 , o U& = ∠ R1 = R2 = X L = X C = 50Ω , 试求Uab & 。 【解】 (1) 用相量图求解：以电源电压U& 为参考相量，作出的相量图如图 3.3 (b)所 示。从相量图上可以看出，在数值上Uab =U =100V ，在相位上 Ua b 滞后 U 90o 。所以， Uab & =-j100V。 (2) 用复数计算求解 j j 2 50 45 50 2 45 V 2 45 50 50 45 100 0 50 j50 100 0 ao C C C 2 2 C o o o o o o & & & & = = − = − × ∠ = ∠ − = ∠ Α + ∠ − ∠ = − ∠ = U U I X I = − = ∠ − − ∠ = = = = × ∠ − = ∠ o o o o & & & & & & 50 2 45 50 2 45 j j 2 50 45 50 2 45 V ab ao bo bo L L L U U U U U I X 50 − j50 − 50 − j50 = −j100V C C u R 2 u1 u i o 30 UC & U2 & I & U&
第三章正弦交流电路 R2 L 图3.3例题34的图相量图 (a)电路图 【例题35】在图34中,已知电源电压U=220∠0°V。试求:(1)等效复阻抗z (2)电流、l1和/2 【解】(1)等效复阻抗 09 Z=50+ (100+j200)(-1400) 100+j200-J400 1009 50+320+j240= 370+j240= 10Q: 40∠33g2 (2)电流 图34例题3.5的图 U220∠0 Z-440∠33 =0.5∠-33A 0.5∠-33 100+200-J40 05∠-33°=089∠-596°A 100+j200 ×0.5∠-33 224∠63.4 224∠-6×0.5∠-33=0.5∠938°A 【例题3.6】图3.5所示的电路是RC振荡电路的一个重要组成部分。试证明当频 率∫=f6 时,输入电压U1与输出电压U2同相,并证明这时 【解】证明:RC串联部分的复数阻抗为 =R+ 1 I+ JORC RC并联部分的复数阻抗为 =Joc R 图3.5例题3.6的图 R I+ JORC
第三章 正弦交流电路 29 (a) 电路图 (b) 相量图 图 3.3 例题 3.4 的图 【例题 3.5】 在图 3.4 中，已知电源电压 220 0 V o U& = ∠ 。试求：(1) 等效复阻抗 Z ； (2) 电流 I & 、 1I & 和 2 I & 。 【解】 （1）等效复阻抗 = + − + − = + 100 j200 j400 (100 j200)( j400) Z 50 + = + + = 370 j240 50 320 j240 ∠ Ω o 440 33 （2）电流 图 3.4 例题 3.5 的图 × ∠ − = + − − = = ∠ − Α ∠ ∠ = = o o o o & & & 0.5 33 100 j200 j400 j400 0.5 33 440 33 220 0 1I Z U I × ∠ − = ∠ − Α ∠ − ∠ − o o o o 0.5 33 0.89 59.6 224 63.4 400 90 × ∠ − = + − + = & o 0.5 33 100 j200 j400 100 j200 2 I × ∠ − = ∠ Α ∠ − ∠ o o o o 0.5 33 0.5 93.8 224 63.4 224 63.4 【例题 3.6】 图 3.5 所示的电路是 RC 振荡电路的一个重要组成部分。试证明当频 率 RC f f 2π 1 = 0 = 时，输入电压U1 & 与输出电压U2 & 同相，并证明这时 3 1 1 2 = U U 。 【解】 证明：RC 串联部分的复数阻抗为 C RC C Z R ω ω ω j 1 j j 1 3 + = + = RC 并联部分的复数阻抗为 RC R C R C R Z ω ω ω 1 j j 1 j 1 2 + = + = 图 3.5 例题 3.6 的图 50Ω 100Ω j200Ω − j400Ω I & U& 1I & 2 I & L ⋅ I C ⋅ I R1 R2 C L b a ⋅ U ab ⋅ U o 45o 45 a o b UR2 & UR1 & CI & UC & UL & U& Uab & LI & I & R R C C U1 & U2 & U3 &
电工学试题精选与答题技巧 输出电压为 U2=1z2 UZI 1+ joRDi Za+z, 1+ jo RC jc 1+ jo RC (1+joRC)2+joRC 3+JORC 欲使U2与U1同相,上式分母的虚数部分必须为零,即 由此得 f=fo 2丌R 这时 【例题3.7】在图36(a)中,通过调节电阻R,可在ab端获得相位可调的输出电压 U。今已知R在0~1.5k范围内变化,C=150μF,电源电压U=20V,其频率为 50Hz,试求输出电压Uab的大小和移相范围 【解】 b U 2 (a)电路图 (b)相量图 图3.6例题3.7的图 U (-xc) 因为 R-iX 所以 Giro) U(R+xc)U2∠o 2(R-jxc)2|2∠ 式中阻抗 2=R2+x2 IR与U之间的相位差= arctan X R- arctan
30 电工学试题精选与答题技巧 输出电压为 = + + + + = + = = 1 3 2 1 2 2 j 1 j 1 j 1 j U RC R C RC RC R Z Z U Z U IZ & & & & ω ω ω ω ) 1 3 j( (1 j ) j j 1 2 1 RC RC U U RC RC RC ω ω ω ω ω + − = + + & & 欲使U2 & 与U1 & 同相，上式分母的虚数部分必须为零，即 RC RC ω ω 1 = 由此得 RC f f 2π 1 = 0 = 这时 3 1 1 2 = U U 【例题 3.7】 在图 3.6(a)中，通过调节电阻 R，可在 ab 端获得相位可调的输出电压 Uab & 。今已知 R 在 0 ～1.5 kΩ 范围内变化，C = 150μF,电源电压U = 20V ，其频率为 50Hz，试求输出电压 Uab 的大小和移相范围。 【解】 (a) 电路图 (b) 相量图 图 3.6 例题 3.7 的图 ( j ) 2 ab ae be R X C I U U = U −U = − & − & & & & 因为 C R R jX U I − = & & 所以 − = − = − ( j ) 2 j C C ab X R X U U U & & & ϕ θ ϕ ϕ = ∠ = ∠ ∠ − ∠ = − + ⋅ 2 2 2( j ) 2 2 ( j ) C C U U Z U Z R X U& R X & & & 式中阻抗 2 C 2 Z = R + X RI & 与U& 之间的相位差 R R C X ω ϕ 1 arctan arctan C = = ab ⋅ U b ϕ θ a R1 R a b R1 e R ⋅ U C ⋅ U U& RI & UR & UC & Uab & 2 U& 2 U& U& RI &
第三章正弦交流电路 Un与U之间的相位差 6=2q 由上式可知,当改变电阻R时,输出电压Ua是一个不变恒定的值,即有 2 本题中 当电阻R由零变到无穷大时,q角由900变到零,O角由180°变到零。当电阻R 由零变到1.5k时,Ua的相位从180°减小到: 8=2o=arctan 2 arctan =2×0.8°=1.6 2×50×150×10-6×1.5×103 即在180°~1.6°之间的1784°的范围内移相。 相量图如图36(b所示。由于UR和Uc互相差90°,而其和恒等于电源电压,所以 改变电阻R,k随之改变的同时,b点的轨迹是以一为半径的半圆。Ua的大小等于半 径,它与电源电压之间的相位差θ角随调节电阻的大小而改变,从而达到移相的目的 【例题38】在图37中,已知Z1=20+j1009,2Z2=50+j509,当要求l2滞后 U90°时,电阻R为多大? 【解】 22R212+(21+22) R Z2+R (Z2+r) ZI 于是得 zz122+(Z1+Z2)R 阻抗Z2中的电流 R Z2+R2122+(z1+22)R22+R 图3.7例题3.8的图 UR Z122+(Z1+Z2)R 将已知数代入 UR (20+j100(50+j150)+(70+j250)R UR 70R-15000+1000+j(5000+3000+250 若I2滞后U90°,则分母中实部应等于零,即 70R-14000=0 所以 R=200g2 【例题39】试证明串联谐振频率∫6、通频带宽度Δ=f2-f和品质因数Q之
第三章 正弦交流电路 31 Uab & 与U& 之间的相位差 θ = 2ϕ 由上式可知，当改变电阻 R 时，输出电压 Uab 是一个不变恒定的值，即有 2 ab U U = 本题中 10V 2 20 Uab = = 当电阻 R 由零变到无穷大时，ϕ 角由 90o变到零，θ 角由 180o 变到零。当电阻 R 由零变到1.5kΩ时，Uab & 的相位从 180o 减小到： o o 2 0.8 1.6 2π 50 150 10 1.5 10 1 2arctan 1 2 2arctan 6 3 = × = × × × × × = = = − ωRC θ ϕ 即在 180°~1.6°之间的 178.4°的范围内移相。 相量图如图 3.6(b)所示。由于UR & 和UC & 互相差 90o ，而其和恒等于电源电压，所以 改变电阻 R，IR 随之改变的同时，b 点的轨迹是以 2 U 为半径的半圆。Uab & 的大小等于半 径，它与电源电压之间的相位差θ 角随调节电阻的大小而改变，从而达到移相的目的。 【例题 3.8】 在图 3.7 中，已知 Z1 = 20 + j100 Ω , Z2 = 50 + j150 Ω，当要求 2 I & 滞后 U& 90o 时，电阻 R 为多大? 【解】 Z R Z Z Z Z R Z R Z R Z Z Z R Z + + + = + = + = + 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) 设 o &U =U∠0 于是得 Z Z Z Z R U Z R Z U I ( ) ( ) 1 2 1 2 2 + + + = = & & & 阻抗 Z2 中的电流 = + = I Z R R I & & 2 2 = + + + + Z R R Z Z Z Z R U Z R 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) & 图 3.7 例题 3.8 的图 Z Z Z Z R UR ( ) 1 2 + 1 + 2 & 将已知数代入 70 15 000 1 000 j(5 000 3 000 250 ) (20 j100)(50 j150) (70 j250) 2 R R U R R U R I − + + + + = + + + + = & & & 若 2 I & 滞后 o &U90 ，则分母中实部应等于零，即 70R −14000 = 0 所以 R = 200Ω 【例题 3.9】 试证明串联谐振频率 0f 、通频带宽度 2 1 ∆f = f − f 和品质因数 Q 之 Z1 Z2 R I & U& 2 I & 1I &
电工学试题精选与答题技巧 间有如下关系:M= Q 【解】证明由于在f与f2时的电流为谐振时电流b的0.707倍,故 R2+(a1L--1)2R2+(o2L--)2 R+(O,L 2=R2+(o2L- 2=2R2 O,C 可见,f1与f2应该是满足下列关系的两个频率 L 22C 第一式右边取负号是因为 ffo, O2L 上两式可变为下列形式 I LC +O,RC=l, @ LO 两式相等,即 L(o2-o1)=R L(22-2f)=R 由此得 4f=f2-f1 for fo 2πL2f0LQ 【例题3.10】在电阻、电感、电容元件串联的交流电路中,已知电源电压U=1V R=109,L=4mH,C=160pF。试求:(1)当电路发生谐振时的频率、电流、电容器上 的电压、品质因数、通频带宽度;(2)当频率偏离谐振点+10%时的电流、电容器上的 【解】(1)谐振时f6= 2√LC2×3.l4y4×10-3×160×10- 199.1kHz 2×3.14×80×10 谐振电流 10=R=10=01A=100mA 谐振时的感抗与容抗
32 电工学试题精选与答题技巧 间有如下关系： Q f f 0 ∆ = 。 【解】 证明 由于在 1f 与 2f 时的电流为谐振时电流 I0 的 0.707 倍，故 = + − 2 1 1 2 ) 1 ( C R L U ω ω R U I C R L U 2 2 1 ) 1 ( 0 2 2 2 2 = = + − ω ω 或 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ) 2 1 ) ( 1 ( R C R L C R + L − = + − = ω ω ω ω 可见， 1f 与 2f 应该是满足下列关系的两个频率 R C L − = − 1 1 1 ω ω R C L − = + 2 2 1 ω ω 第一式右边取负号是因为 1f ω > 上两式可变为下列形式 1, 1 2 2 1 2 2 ω1 LC +ω RC = ω LC −ω RC = 两式相等，即 L f f R L R L R − = − = − = + (2π 2π ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ω ω ω ω ω ω 由此得 Q f f L f R L R f f f 0 0 0 2 1 2π 2π ∆ = − = = = 【例题 3.10】 在电阻、电感、电容元件串联的交流电路中,已知电源电压U =1V , R = 10Ω, L = 4mH, C = 160pF 。试求：(1) 当电路发生谐振时的频率、电流、电容器上 的电压、品质因数、通频带宽度；(2) 当频率偏离谐振点+ 0 0 10 时的电流、电容器上的 电压。 【解】 (1) 谐振时 = × × × × = = −3 −12 0 2 3.14 4 10 160 10 1 2π 1 LC f 199.1kHz 2 3.14 80 10 1 8 = × × × − 谐振电流 0.1 100 10 1 0 = = = Α = R U I mA 谐振时的感抗与容抗
第三章正弦交流电路 X1=O0L=2L=2×314×1991×103×4×10-3=50009 0C2JfC2×3.4×1991×103×160×10-=5000 电容器上的电压 UC=l0Xc=0.1×5000=500V 品质因数 UC500 Q 通频带宽度 4==1991×103 398.2Hz 500 f1=f6 199100-1991=1989kHz =+4y=19019193H (2)当频率偏离谐振点+10%时 此时X和XC将分别增加10%和减少10%,即 X1=55009Xc=4500g 阻抗 2=VR2+(x1-x2=√02+6500450100 电流 =0.00lA=1mA 1000 电容器上的电压 U=Ixc=0.001×4500=4.5V 可见频率偏离谐振点+10%时,电流/和电容器上的电压Uc都大大地减小了 【例题3.11】在图38中,已知电压表的读数为30V,试求电流表的读数。 【解】由于电压表的读数为30V,所以 3104 12=10∠0°A,于是得 U=122=10∠0°×(3-j3)= 424∠-45°V U42.4∠-45° 3.8例题3.11的图 7.8∠-668°=(3-订72)A =1+12=3-j72+10=13-j72=15∠-29°A 【例题312】已知电路如图39所示,电源电压U=U∠0°,内阻抗Z0=R0+j0, 负载阻抗ZL=R1+jX1,求负载获取的最大功率 【解】由电路图可知 〓 Zo+ZL (Ro+R)+j(Xo+XI 电流的有效值为
第三章 正弦交流电路 33 = Ω × × × × × = = = = = = × × × × × = Ω − − 5 000 2 3.14 199.1 10 160 10 1 2π 1 1 2π 2 3.14 199.1 10 4 10 5 000 3 12 0 0 C 3 3 L 0 0 C f C X X L f L ω ω 电容器上的电压 UC = I 0X C = 0.1× 5000 = 500V 品质因数 500 1 C 500 = = = U U Q 通频带宽度 398.2Hz 500 199.1 103 0 = × ∆ = = Q f f 199 100 199.1 198.9kHz 2 1 0 = − = ∆ = − f f f 199100 199.1 199.3kHz 2 2 0 = + = ∆ = + f f f （2）当频率偏离谐振点+ 0 0 10 时 此时 XL和 XC 将分别增加 0 0 10 和减少 0 0 10 ，即 X L = 5 500 Ω X C = 4 500 Ω 阻抗 = + ( − ) = 10 + (5500 − 4500) =1 000 Ω 2 2 2 L C 2 Z R X X 电流 0.001 1 1000 1 = = = Α = Z U I mA 电容器上的电压 UC = IX C = 0.001× 4500 = 4.5V 可见频率偏离谐振点+ 0 0 10 时，电流 I 和电容器上的电压 UC 都大大地减小了。 【例题 3.11】 在图 3.8 中，已知电压表的读数为 30V，试求电流表的读数。 【解】 由于电压表的读数为 30V，所以 = =10Α 3 30 2 I 设 I & 2 =10∠0o Α，于是得 42.4 45 V 10 0 (3 j3) 2 2 o o & & ∠ − U = I Z = ∠ × − = ∠ − = − Α = + ∠ − = = 7.8 66.8 (3 j7.2) 5 j2 42.4 45 1 1 o o & & Z U I 3.8 例题 3.11 的图 = + = − + = − = ∠ − Αo & & & 3 j7.2 10 13 j7.2 15 29 1 2 I I I 【例题 3.12】 已知电路如图 3.9 所示，电源电压 o &U =U∠0 ，内阻抗 0 0 0 Z = R + jX ， 负载阻抗 L L L Z = R + jX ，求负载获取的最大功率。 【解】 由电路图可知 ( ) j( ) 0 L R0 RL X0 X L U Z Z U I + + + = + = & & & 电流的有效值为 V A 5Ω 3Ω j2Ω − j3Ω I & 1I & 2 I & U&
电工学试题精选与答题技巧 √R+R1)2+(x0+x1)2 Zo 负载获得的功率是 RL (R0+R1)2+(X0+X1)2 图3.9例题3.12的图 若负载电阻R不变,改变X,为了获得最大功率,应使(X0+X1)项等于零,于 是有 此时电路变为纯电阻电路,则功率为 R (R0+R1)2 其次再考虑在X1=-X0的已知条件下,改变R,获得最大功率,它与电阻电路中 求电源与负载匹配条件时相同 令a=0,可推导出RL=R 由上可知,负载获得最大功率的条件是 即负载获得的最大功率是 P 4Ro 【例题313】在例题312图39中,若已知U=100∠0°V,Z0=5+j10g2,负载阻 抗Z分别为(1)Z1=59、(2)Z1=2、(3)Z1=5-j0Q数值时,试求负载的功率 【解】已知z0=5+j10=112∠634g (1)Z1=5g 100∠0°100∠0°100∠0 =7.07∠-45A Z0+Z15+j0+510+jl010√2∠45 P=2R1=(707)2×5=250W (2)Z1=|20=11 100∠0°100∠0°100∠0° =5.26∠-317A z0+Z15+j10+112162+j1019∠31.7° P=P2R1=(526)2×12=310W (3)ZL=5-jl09 100∠0° 100∠0 =10∠0 +Z15+10+5-11010 P.=P2R1=102×5=500W 【例题314】在图3.10(a)中,已知电源电压U=100∠0°,X1=10002
34 电工学试题精选与答题技巧 2 0 L 2 0 L (R R ) (X X ) U I + + + = 负载获得的功率是 2 L 0 L 2 0 L 2 L 2 ( ) ( ) R R R X X U P I R + + + = = 图 3.9 例题 3.12 的图 若负载电阻 RL不变，改变 XL，为了获得最大功率，应使( ) X 0 + X L 项等于零，于 是有 X L = −X 0 此时电路变为纯电阻电路，则功率为 2 L 0 L 2 ( ) R R R U P + = 其次再考虑在 X L = −X0 的已知条件下，改变 RL，获得最大功率，它与电阻电路中 求电源与负载匹配条件时相同。 令 0 d d L = R P ，可推导出 RL = R0 。 由上可知，负载获得最大功率的条件是 RL = R0 X L = −X0 即负载获得的最大功率是 0 2 max 4R U P = 【例题 3.13】 在例题 3.12 图 3.9 中，若已知U =100∠0 V , Z0 = 5 + j10Ω o & ，负载阻 抗 Z 分别为(1) Z L = 5Ω 、(2) Z L = Z 、(3) Z L = 5 − j10Ω 数值时, 试求负载的功率。 【解】 已知 = + = ∠ Ω o 5 j10 11.2 63.4 Z0 (1) Z L = 5Ω (7.07) 5 250 W 7.07 45 10 2 45 100 0 10 j10 100 0 5 j10 5 100 0 2 L 2 L 0 L = = × = = = ∠ − Α ∠ ∠ = + ∠ = + + ∠ = + = P I R Z Z U I o o o o o & & (2) Z L = Z0 =11.2Ω (5.26) 11.2 310W 5.26 31.7 19 31.7 100 0 16.2 j10 100 0 5 j10 11.2 100 0 2 L 2 L 0 L = = × = = ∠ − Α ∠ ∠ = + ∠ = + + ∠ = + = P I R Z Z U I o o o o o & & (3) Z L = 5 − j10Ω 10 5 500W 10 0 10 100 0 5 j10 5 j10 100 0 2 L 2 L 0 L = = × = = ∠ ∠ = + + − ∠ = + = P I R Z Z U I o o o & & 【例题 3.14】 在图 3.10 (a)中，已知电源电压 o &U =100∠0 ， X L = 1000Ω ， Z0 ZL I & U&
第三章正弦交流电路 XCc=50092,R=20009,求电流Ⅰ 【解】此电路为复杂交流电路,因此,用戴维南定理求解。 jr, (a)电路图 (b)求开路电压 (c)求内阻抗 图3.10例题3.14的图 将电阻R断开,求有源二端网络的开路电压U。由图3.10(b)可知 j50 100∠0°=100V j1000-J500 =j1000-100∠0°=200V 1000-1500 R 所以 Uab=Ua-Ub=-100-200=-300V 图3.11例题3.14的图 内阻抗Z0可由图3.10(c)的电路求出,它等于两个串联的X与Xc并联电路的等效 阻抗,即 z=20100500 j200092 j1000-J500 由图3.1求出电阻R中的电流,即 300 =-0.106∠45°=0.106∠135°A z0+R-j2000+2000 【例题315】在图3.12(a)所示的正弦交流电路中,已知复阻抗Z1=3+j49, Z2=6+j8,Z3=5+592,电压源电压u=2202sm(314+60°)V,电流源的电流 10√2sin(314-60°)A,试求z3支路中的电流及有功功率 【解】此电路为交流复杂电路,应用叠加原理求解 电压源单独作用时的电路图如图3.12(b)所示。 (a)电路图 (b)电压源单独作用 (c)电流源单独作用 图3.12例题3.15的图 220∠0°220∠0° +Z33+y4+5+j5
第三章 正弦交流电路 35 X C = 500Ω , R = 2000Ω ，求电流 I &。 【解】 此电路为复杂交流电路，因此，用戴维南定理求解。 ⋅ U ⋅ I R L jX C − jX ⋅ U ab ⋅ U a b a b Z0 L jX L jXL jX C − jX C − jX C − jX C − jX C − jX L jX L jX (a) 电路图 (b) 求开路电压 (c) 求内阻抗 图 3.10 例题 3.14 的图 将电阻 R 断开，求有源二端网络的开路电压Uab & 。由图 3.10 (b)可知 100 0 100V j1000 j500 j500 a ∠ = − − = & o V 100 0 200V j1000 j500 j1000 b ∠ = − = & o V 所以 U& ab =U& a −U& b = −100 − 200 = −300V 图 3.11 例题 3.14 的图 内阻抗 Z0 可由图 3.10 (c)的电路求出，它等于两个串联的 XL与 XC 并联电路的等效 阻抗，即 = − Ω − − = j2000 j1000 j500 (j1000)( j500) 2 Z0 由图 3.11 求出电阻 R 中的电流 ，即 = − ∠ = ∠ Α − + − = + = o o & & 0.106 45 0.106 135 j2000 2000 300 0 ab Z R U I 【例题 3.15】 在图 3.12 (a) 所示的正弦交流电路中，已知复阻抗 3 j4Ω, Z1 = + Z2 = 6 + j8 Ω ，Z3 = 5 + j5 Ω ,电压源电压 220 2 sin(314 60 )Vo u = t + ， 电流源的电流 =10 2 sin (314 − 60 )Αo i t ，试求 Z3 支路中的电流及有功功率。 【解】 此电路为交流复杂电路，应用叠加原理求解。 电压源单独作用时的电路图如图 3.12 (b)所示。 (a) 电路图 (b) 电压源单独作用 (c) 电流源单独作用 图 3.12 例题 3.15 的图 8 j9 220 0 3 j4 5 j5 220 0 1 3 3 + ∠ = + + + ∠ = + =′ o o & & Z Z U I Z0 R U& I & Z1 Z2 Z3 Z1 Z2 Z3 Z1 Z2 Z3 U& 3 I & U& 3 I′& 3 I′& I & I &
电工学试题精选与答题技巧 220∠0° =18.3∠-48.4A 12∠48.4° 电流源单独作用时的电路图如图3.12(c)所示。 Z1 3+141 10∠-60° 1+233+14+5+j5 50∠-6.9° 2∠-44°=416∠41.5°A 所以 3=l3+l3=18.3∠-484°+416441.5°=12.15-j1368+3.11+j2.76= 1526-j10.92=18.76∠-356°A 有功功率 P=13×5=18.76-×5=17597W 【例题316】在图313(a)所示的电路中,已知U=200V,P=1500W,f=50Hz, R1=R2=R3=R,l1=l2=l3=1,试求、R、L、C各为多少? 【解】设并联支路的端电压U1=U/1∠0°V,则2滞后于U1,3超前于U1。又 ,=I,=l2=I 3 (a)电路图 (b)相量图 图3.13例题3.16的图 作出电流相量图如图3.13(b)所示。从相量图上可知,三个电流相量组成一个等边三角 形。由于电阻R2=R3,l2与l3的有功分量应该相等。因此可推知 12=1∠-60°A,l3=l∠60°A,11=l∠0°A 1与U1同相 又有 U=R1+UI 故有U与l1同相,整个电路达到谐振。所以 75A U cos200× 1=1=12=13=7.5A P=PR +PR+PR=3/-R 1500 R =8.9g 3123×7.5 U 支路阻抗 R,+joL==|Z∠60°g 12
36 电工学试题精选与答题技巧 = ∠ − Α ∠ ∠ o o o 18.3 48.4 12 48.4 220 0 电流源单独作用时的电路图如图 3.12 (c) 所示。 ∠ − = + + + + = + = & ″ & o 10 60 3 j4 5 j5 3 j4 1 3 1 3 I Z Z Z I = ∠ Α ∠ − ∠ − o o o 4.16 41.5 12 48.4 50 6.9 所以 − = ∠ − Α = ∠ − + ∠ = − + + = ″ +′ = o o o & & & 15.26 j10.92 18.76 35.6 I 3 I 3 I 3 18.3 48.4 4.16 41.5 12.15 j13.68 3.11 j2.76 有功功率 5 18.762 5 1759.7W 2 P = I 3 × = × = 【例题 3.16】 在图 3.13(a)所示的电路中,已知U = 200V , P =1500W , f = 50Hz ， R1 = R2 = R3 = R ， I = I = I = I 1 2 3 ，试求 I、R、L、C 各为多少? 【解】 设并联支路的端电压 1 1 0 Vo U& =U ∠ ，则 2 I & 滞后于U1 & ， 3 I & 超前于U1 & 。又 1 2 3 I I I & = & + & I = I = I = I 1 2 3 (a) 电路图 (b) 相量图 图 3.13 例题 3.16 的图 作出电流相量图如图 3.13(b)所示。从相量图上可知，三个电流相量组成一个等边三角 形。由于电阻 R2 = R3 ， 2 I & 与 3 I & 的有功分量应该相等。因此可推知 = ∠ − Α = ∠ Α = ∠ Α o o o & & & 60 , 60 , 0 2 3 1 I I I I I I 1I & 与U1 & 同相。 又有 1 1 U1 U R I & = & + & 故有U& 与 1I & 同相，整个电路达到谐振。所以 P P P P I R I I I I U P I 2 R R R 1 2 3 1 3 7.5 7.5 200 1 1500 cos 1 2 3 = + + = = = = = Α = Α × = = ϕ 即 = Ω × = = 8.9 3 7.5 1500 3 2 2 I P R 支路阻抗 + = = ∠ Ωo & & j 60 2 1 2 Z I U R ωL VV W R1 R2 R3 L C ⋅ U U& 1I & 2 I & 3 I & U1 & U1 1 & I & 2 I & 3 I &