第十五章含参变量积分 习题15.1含参变量的常义积分 1.求下列极限 (1)lim dx +x-+a (2)lim「 1+|1+ 解(1)由积分中值定理,可得 dx 1+x2+ 1+x2+a2 (在1与1+a之间), 于是 lim d x . lim dx -+lim a01+x2+a2a01+x2+a2a01+2+ai (2)由连续性定理, lim In 1+|1+ 2.设f(x,y)当y固定时,关于x在[anb上连续,且当y→y-时,它 关于y单调增加地趋于连续函数o(x),证明 广(xy)d女=x 证若能证明limf(x,y)=(x)关于x∈[a,b是一致的,即vs>0, >0,vy∈(0-6,yo),vx∈[ab]:|(x,y)-(x)<E,则 [(xy))()(b=0 就有 lim f(x, y)dx=p(x)dx 以下用反证法证明limf(x,y)=(x)关于x∈[an,b]是一致的 若不然,则3s0>0,Vδ>0,y∈(Vo-6,y0) [a,b]第十五章 含参变量积分 习 题 15.1 含参变量的常义积分 1． 求下列极限： （1） ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx ； （2） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx 。 解（1）由积分中值定理，可得 ∫ ∫ ∫ + + + + + + + = + + α α α α α 1 1 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 x dx x dx x dx ∫ + + + = 1 0 2 2 1 x α dx 2 2 1 ξ α α + + （ξ 在1与1+α 之间）， 于是 ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx 0 1 0 2 2 0 lim 1 lim → ∫ → + + + = α x α α dx 2 2 1 ξ α α + + = 1 4 1 1 0 2 π = + ∫ dx x 。 （2）由连续性定理， ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx e e e de e dx x x x + = + = − + = ∫ ∫ − − 1 2 ln 1 1 1 0 1 0 。 2．设 f (x, y) 当 y 固定时，关于 在 上连续，且当 时，它 关于 x [a,b] y → y0 − y 单调增加地趋于连续函数φ(x)，证明 ∫ = ∫ → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 。 证 若能证明 lim ( , ) ( ) 0 f x y x y y = φ → − 关于 x ∈[a,b]是一致的，即∀ε > 0， ∃δ > 0， ( , ) 0 0 ∀y ∈ y − δ y ，∀x ∈[a,b]： f (x, y) −φ(x) < ε ，则 ( f (x, y) φ(x))dx f (x, y) φ(x) dx (b a)ε b a b a − ≤ − < − ∫ ∫ ， 就有 ∫ = ∫ 。 → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 以下用反证法证明 lim ( , ) ( ) 0 f x y x y y = φ → − 关于 x ∈[a,b]是一致的。 若不然，则∃ε 0 > 0，∀δ > 0， ( , ) 0 0 ∃y∈ y −δ y ，∃x ∈[a,b]： 1