f(x,y)-(x)≥6o 依次取6=1,3∈(-,y),3x∈[ab1:|f(x,y1)-9x)≥6 2=mn1-外,∈(n-4,3),32E[ab,(x2)(x)2 yn},3n∈(-6,y),丑n∈a,f(xn,y,)-(x,)≥E; 由此得到两列数列{xn}{n}。由于{xn}{n}有界,由 bolzano Weierstrass定理,存在收敛子列{n}n},为叙述方便,仍记这两个 子列为xn}{n},其中{n}是递增的, lim y=y。设imx,=5 由f(,y)→()(y→y0-),可知3δ>0,Vy(-8<y-y<0) /(5,y)-5) 注意lmyn=y,取足够大的K使得-8<yx-y<0,从而 f(,yk)-c()< 又f(x,yk)-叭(x)在x=5点连续以及imxn=5,3N>0,当n>N时, 成立 ((xn,yx)-0xn)-(/(5,yk)-)< 于是 )-(xn)<E0 但是对固定的xn,当y→υ-时,∫(xny关于y单调递增地趋于 (xn),所以当n>max{N,K})时,成立 f(xn,yn)-xn)≤f( p(rn)I 这与f(xnyn)-(xn)≥60,(n=12,)矛盾 3.用交换积分顺序的方法计算下列积分: In (b>a>0); (2)[2InI+asin x da (1>a>0) asin x sinx 解(1)Jsm(n dx= Iac e* dy e ayS t"sn( n odr In0 f (x, y) −φ(x) ≥ ε 。 依次取 1 δ =1， 1 0 1 0 ∃y y ∈ − ( δ , y ) 1 ， [ , ]： 1 1 1 0 ∃x ∈ a b f x( , y ) −φ(x ) ≥ ε ； 2 0 1 1 min , 2 δ y y ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 2 0 2 0 ，∃ ∈ y y( −δ , y ) 2 [ , ]， 2 2 2 0 ，∃x ∈ a b f x( , y ) −φ(x ) ≥ ε ； "" 0 1 1 min , n n y y n δ − ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭， 0 0 ( , ) n n ∃ ∈ y y −δ y [ , ] n ∃x ∈ a b ， 0 ( , ) ( ) n n n ， f x y − ≥ φ x ε ； ""。 由此得到两列数列{ } xn ,{yn }。由于{xn },{yn }有界，由 Bolzano￾Weierstrass 定理，存在收敛子列{ } { } nk nk x , y ，为叙述方便，仍记这两个 子列为{ } xn ,{yn }，其中{yn }是递增的， 0 lim n n y y →∞ = 。设lim n n x ξ →∞ = 。 由 ( , ) ( )( ) f ξ y → φ ξ y → y0 − ，可知∃δ > 0, 0 ∀y y ( 0 − < δ − y < )： 2 ( , ) ( ) 0 ε f ξ y −φ ξ < ， 注意 0 lim y y n n = →∞ ，取足够大的K 使得 0 0 K −δ < − y y < ，从而 2 ( , ) ( ) 0 ε f ξ yK −φ ξ < 。 又 f (x, y ) (x) K −φ 在 x = ξ 点连续以及lim n n x ξ →∞ = ，∃N > 0,当n > N 时， 成立 ( ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 ε f xn yK −φ xn − f ξ yK −φ ξ < ， 于是 0 ( , ) −φ( ) < ε n K n f x y x 。 但是对固定的 xn ，当 y → y0 − 时， f (xn , y) 关于 y 单调递增地趋于 ( ) n φ x ，所以当n > max{N,K}时，成立 0 ( , ) −φ( ) ≤ ( , ) −φ( ) < ε n n n n K n f x y x f x y x ， 这与 0 ( , ) −φ( ) ≥ ε n n n f x y x ，(n = 1,2,")矛盾。 3. 用交换积分顺序的方法计算下列积分： （1） ( 0) ln 1 sin ln 1 0 > > − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx b a x x x x b a ； （2） (1 0) 1 sin sin 1 sin ln 2 0 > > − + ∫ a x dx a x a x π 。 解（1）∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b a y b a y b a dx x dx x dy dy x x dx x x x x 1 0 1 0 1 0 1 sin ln 1 sin ln ln 1 sin ln ， ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ 1 ⎛ 0 1 sin ln dx x x y ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 1 0 0 1 1 1 cos ln 1 1 1 sin ln 1 1 dx x x x y x y y y 2