又4h,n+n)=b→n=;n+n)-0是Ax=b的特解 故Ax=b的通解为x=n+k(vk∈R) 例18设 ranka=r(r<m),η,m1,…,n是Ax=b(b≠0)的解,证明: n-nn,…,n-η是Ax=0的基础解系兮m,m,…,n线性无关 证必要性.设数组k0,k1,…,kn,使得k7+k1m+…+knn=0 左乘A,利用Am;=b可得(k。+k1+…+kn)b=0 因为b≠0,所以k+k1+…+kn=0→k=-(k1+…+kn) 由此可得k1(m1-m)+…+kn,(mn-m)=0 因为m1-m0,…,n-7是Ax=0的基础解系,所以线性无关,从而有 k1=0,…,kn=0→k=0 故m0,m1,…,n,线性无关 充分性.A(7-7)=0→n-7是Ax=0的解向量 设数组k1,…,kn使得k1(n1-7)+…+kn(n-m)=0 则(k1+…+kn)7+k1n1+…+kn,Tn=0 因为m,1,…,7n线性无关,所以只有 kn)=0,k1=0,…,knr=0 故向量组m1-m0,,n-n0线性无关 因此n1-m,…,n-7是Ax=0的基础解系26 又 A ( + )] = b 2 1 [ 1 2            − = + =  1 0 1 ( ) 2 1  1  2 是 Ax = b 的特解 故 Ax = b 的通解为 = + (  R)  x  k k ． 例 18 设 rankA r (r n) nn =  ,   n−r , , , 0 1  是 Ax = b (b  0) 的解, 证明： 1 0 0  − ,  ,n−r − 是 Ax = 0 的基础解系    n−r , , , 0 1  线性无关． 证 必要性．设数组 k k kn−r , , , 0 1  使得 k00 + k11 ++ kn−rn−r = 0 左乘 A , 利用 A i = b 可得 (k0 + k1 ++ kn−r )b = 0 因为 b  0, 所以 0 ( ) k0 + k1 ++ kn−r =  k0 = − k1 ++ kn−r 由此可得 k1 (1 −0 ) ++ kn−r (n−r −0 ) = 0 因为 1 0 0  − ,  ,n−r − 是 Ax = 0 的基础解系, 所以线性无关, 从而有 k1 = 0,  , kn−r = 0  k0 = 0 故   n−r , , , 0 1  线性无关． 充分性． 0 0 0 A(i − ) = i − 是 Ax = 0 的解向量 设数组 k kn−r , , 1  使得 k1 (1 −0 ) ++ kn−r (n−r −0 ) = 0 则 − (k1 ++ kn−r )0 + k11 ++ kn−rn−r = 0 因为   n−r , , , 0 1  线性无关, 所以只有 − (k1 ++ kn−r ) = 0 , k1 = 0,  , kn−r = 0 故向量组 1 0 0  − ,  ,n−r − 线性无关． 因此 1 0 0  − ,  ,n−r − 是 Ax = 0 的基础解系．