定理5,设V是"维线性空间,取定V的一个基a1,a2,…,a1,对于任意a∈V在此基下的坐标是 (a1,a2,…,an),则n:a→(01,a2,…,an)导出了n:VF Hom(V,W)≈Fmx作为线性空间的同构 设Ⅴ是n维线性空间,取定V的一个基a1,a2,……,an,设W是m维线性空间,取定W的 一个基1,B2,……,Bm对于AB∈Hom(V,W),如果A(an,a2,……,a B(a1,a2,…,a2)=(61,B2…,Bm)B,这里A,B∈Fx,则 (4+B)(a1,a2,……,an)=(6,B2,……,An)(A+B), (4)(a1,a 这里a∈F 在取定了V和W的基的条件下,令事:A→A,则有Φ(A+6)=A+B=(A)+(6) (a4)=aA=c重(A 定理6.∮导出了线性空间同构 重:Hom(V,W)≈Fmxn 特别地,当V=W时, (AB)(a1,a2,…,an)=(,B2,…,Bn)(AB) 这样,(A6)=AB=中(A)(6) 定理7.:A→A导出了有单位元的结合代数的同构 重:Hom(V,V)≈F"x 利用这个同构关系,易知面(E)=E;对于任意f(x)∈Fxl,更(f(A))=f(4)=f(重(A).我们可以 将线性映射(变换)的问题和矩阵的问题互相转化 三.Hom(VW)Fm"和VF"的自然延拓 设V是n维线性空间,取定V的一个基a1,a2,…,On设W是m维线性室间,取定W的一个基 1,2…,Bm,重:Hom(V,W)Fmx"是线性空间同构,更(A)=A,其中 A(a1,a2,…,an)=(31,B2,……,Bm)A 又mn:V2F,m(a)=X,其中X是a在基a1,a2,……,On下的坐标,m:WsF",(6)=Y 其中Y是B在基B1,B2,…,Bm下的坐标.再令A:Fn→F,X口AX.则 定理8.(1)mΦ2=Amhi; (2)m(Ker A)=Ker A (3)2(Im A)=Im. 定理9.(1)dim(Im4)=rank(A) (2)dimKer. A)=n-rank(A) (3)(维数公式dim(ImA)+dim(KerA)=