高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第八章线性空间的同构 提示:线性空间的同构是刻画两个线性室间具有相同的代数结构的概念,根据定义,线性空间的同构是保 持元素之间一一对应且保持线性运算的映射.线性空间的同构就是保持空间的线性运算导出的所有性质和结 构.具体地说.保持向量之间的线性关系,保持子空间以及子空间的运算和直和分解 线性空间同构关系是等价分类思想方法的一个特例.维数是同构关系的全系不变量.数域F是同构类的 代表元.要学会将抽象空间的间题转化为F的问题,并利用线性方程组解决问题 研究线性空间同构的内容是丰富的,多层次的.本章分节讨论.在同构对应中,取定一组基是前提.取不 同基,则对应不同 一般认为,线性空间与线性变换是几何结论,矩阵是代数的方法.同构则架起了代数与几何的桥梁,可以 将矩阵的命题与线性映射(线性变换)的命题互相转换.我们已经在第七章中利用线性变换的观点来证明矩 阵的秩的一些命题,同构对应告诉我们,矩阵的结论和关于线性变换的结论是互相对应的.所以,在证明 个命题时,我们常常至少有至少两种观点和方法.在以下几张中会反复体现这个重要的思想方法.要学会用 矩阵观点来证明线性变换问题,用线性变换观点来考虑矩阵问题.作为练习,我们可以将矩阵的命题翻译成 为线性变换的命题,将线性变换的命题翻译成为矩阵的命题. 实际上,V是代数Hom(V,V)上的模,F"是代数F×"上的模.Hom(V,V)cPmx和V≌F 导出Hom(V,V)的模V和F×"的模F"的同构(参见林亚南,苏秀萍:”广义模同构及其在高等代数 中的应用”,宁德师专学报10(1)(1998)33-35) 线性空间同构的定义和性质 数域F上的线性空间V,W称为同构,如果存在单的且满的线性映射φ:V→W.这时,称为同构 映射,记为φ:VW或VW 定理1.设V,W是线性空间.则φ:VW的充分必要条件是存在线性映射v V,使得 o=8, vo=8 定理2.设φ:V→W是线性空间的同构,则 (1)若在V上有a=a101+a202+…+aa,则在W上有o(a)=a1o(a1)+a2o(a2)+……+ a,o(as (2)若在W上有=b11+b22+……+b,则在V上存在唯一的a,a1,a2,……,Os使得o(a)=, o(a)=B,1≤i≤s,且有a=ba1+b202+…+bas (3)a1,a2,…,am在V线性相关的充分必要条件是o(a1),o(a2),……,o(am)在W线性相关; (4)a1,a2,…,am是V的一个基的充分必要条件是o(a1),o(a2)……,o(am)是W的一个基 定理3.设V,W是有限维线性空间.则VW的充分必要条件是dim(V)=dim(W) 定理4.设V1,V是V的两个子空间,φ:V→W是线性空间的同构,则 (1)oV∩V2)=o(V1)∩o(V2) (2)VgV的充分必要条件是o(V1)o(V2); (3)V=V1V2的充分必要条件是W=o(V1)o(V)