12.11在点电荷(带电4ms0q)的电场中放置一导体球(球的半径为a),球心语 点电荷相距d(d>a),求解着静电场。 解: 以球心为原点,极轴过点电荷取球坐标系,则静电场与φ无关。球外任意 点(r,O,q)的电势(r,O,g)为点电荷产生的电势和球上感应电荷产生的电势的迭 加,即 pxv(,o,其中v(r,O)为感应电荷产生的势场。v(,6) 满足 Laplace方程。如果设导体球的电势为l,则==l 因此,v(r,O)所满足的定界问题为 V-v=0 0 d--2ad cos e 令v(r,0)=R(r)(O),代入方程且乘以得 R Osin e (sin 00)=1(1+1) 从而有 r2R"+2rR'-l(l+1)R=0, e+l(+1)e=0 sin e 记cos=x,刷(0)=y(x),得 -x2)y”-2xy+1+l)y=0,1阶 Legendre方程, 它与自然边界条件⊙(O),(x)有界,即yx)有界,构成本征值问题 它的本征值和本征函数分别为 41=l+1),y(x)=P(x)(=012,…) 对应每一个本征值,方程r2R"+2rR-l(+1)R=0的解为5 12.11 在点电荷（带电4πε 0 q ）的电场中放置一导体球（球的半径为 a），球心语 点电荷相距d(d > a) ,求解着静电场。 解： 以球心为原点，极轴过点电荷取球坐标系，则静电场与ϕ 无关。球外任意一 点(r,θ,ϕ) 的电势u(r,θ,ϕ)为点电荷产生的电势和球上感应电荷产生的电势的迭 加， 即 ( , ) 2 cos ( , , ) 2 2 θ θ θ ϕ v r r d rd q u r + + − = ，其中v(r,θ )为感应电荷产生的势场。v(r,θ ) 满足 Laplace 方程。如果设导体球的电势为u0 ，则 2 cosθ 2 2 0 a d ad q v u r a + − = = − 因此，v(r,θ )所满足的定界问题为      = + − = − ∇ = = →∞ , 0 2 cos 0 2 2 0 2 r a r v a d ad q v u v θ 令v(r,θ ) = R(r)Θ(θ ) ， 代入方程且乘以 RΘ r 2 得， ( ) ( ) sin ( 1) sin 1 2 1 = + ′ Θ′ Θ = − ′ r R′ l l R θ θ 从而有， 2 ( 1) 0 2 r R′′ + rR′ − l l + R = ， ( 1) 0 sin cos Θ′′ + Θ′ + l l + Θ = θ θ 记cosθ = x ，Θ(θ ) = y(x) ，得 (1 ) 2 ( 1) 0 2 − x y′′ − xy′ + l l + y = ， l 阶 Legendre 方程， 它与自然边界条件Θ(0),Θ(π )有界，即 1 ( ) x=± y x 有界，构成本征值问题。 它的本征值和本征函数分别为 = = l(l +1) λ λl ， y(x) P (x) = l (l = 0,1,2,L) 对应每一个本征值，方程 2 ( 1) 0 2 r R′′ + rR′ − l l + R = 的解为