自动控制原理电子教案 将Φ代入一=0,得 aH aG 注意到ar)=l(t),则有 ah aG )T (9.69) 综上所述,得到下列著名的极小值原理 极小值原理:设系统的状态方程为 )=f[x(m),u(1),1,x(to)=x0 (9.70) 控制(1)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集Ω, 且满足不等式约束 G[x(1),u(t),n]≥0 (9.71) 在终端时刻tr未知的情况下,为使状态x()自初始状态x0转移到满足边界条件 MIx(tn),t1=0 (9.72) 的终端状态x(r),并使性能指标 J=0[x(tr),t/1+L[x(),u(t),t]dt (9.73) 最小,则最优控制u()、最优轨迹x()和最优伴随向量A()必须满足下列条 件: 设哈密顿函数为 H(x,u,,1)=L(x,n,1)+xf(x,,n) (9.74) (1)沿最优轨线满足正则方程 ah aG (9.76) 式中,是与时间t无关的拉格朗日乘子向量,其维数与不等式约束函数G相 同。若G内不含x,则有 G[u(1),≥0 (9.77) (9.78) (2)横截条件和边界条件 (9.79) H(x,u,,)+-+ 0 (9.80) Mlr(ty),tI=0 (9.81) (3)在最优轨迹x()上,与最优控制u'()相对应的H函数取绝对极小值 H(x',u, 4, 1)=min H(x', u, 4, n) 者写成 H(x,u4,OsH(x',u,2,t) (9.83) 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 11 将Φ 代入 = 0 ∂ ∂Φ ω& ，得 ( ) Γ = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂H G T ω& ω& （9.68） 注意到ω&(t) = u(t) ，则有 Γ ∂ ∂ = − ∂ ∂ T u G u H ( ) （9.69） 综上所述，得到下列著名的极小值原理： 极小值原理：设系统的状态方程为 x&(t) = f [x(t), u(t),t] ， 0 0 x(t ) = x （9.70） 控制u(t) 是有第一类间断点的分段连续函数，属于 p 维空间中的有界闭集Ω ， 且满足不等式约束 G[x(t), u(t),t] ≥ 0 （9.71） 在终端时刻 f t 未知的情况下，为使状态 x(t) 自初始状态 0 x 转移到满足边界条件 M[x(t f ),t f ] = 0 （9.72） 的终端状态 ( ) f x t ，并使性能指标 ∫ = + f t t f f J x t t L x t u t t dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ), ( ), ] (9.73) 最小，则最优控制 ( ) * u t 、最优轨迹 ( ) * x t 和最优伴随向量 ( ) * λ t 必须满足下列条 件： 设哈密顿函数为 H(x, u, ,t) L(x, u,t) f (x, u,t) T λ = + λ （9.74） （1）沿最优轨线满足正则方程 ∂λ ∂ = H x& （9.75） Γ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − T x G x H λ & ( ) （9.76） 式中，Γ 是与时间t 无关的拉格朗日乘子向量，其维数与不等式约束函数G 相 同。若G 内不含 x ，则有 G[u(t),t] ≥ 0 （9.77） x H ∂ ∂ λ &= − （9.78） （2）横截条件和边界条件 f t t T f v x M x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) = [ ( ) ] θ λ （9.79） [ ( , , , ) ( ) ] = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + = f t t T v t M t H x u t θ λ （9.80） 0 0 x(t ) = x M[x(t f ),t f ] = 0 （9.81） （3）在最优轨迹 ( ) * x t 上，与最优控制 ( ) * u t 相对应的 H 函数取绝对极小值， 即 ( , , , ) min ( , , , ) * * * * * H x u t H x u t u λ λ ∈Ω = （9.82） 或者写成 ( , , , ) ( , , , ) * * * * * H x u t H x u t u λ λ ∈Ω ≤ （9.83）