自动控制原理电子教案 代入式(9.52),得 d2 ah aG or+(o'l &-0H-(aGr (9.57) 若不等式约束函数G内不含x,即为 G[u(1),n≥0 (9.58) 则由于一≡0,由式(9.57)得 由式(9.54)和(9.55),并注意到 ac ,可计算出t=t时的H及A值 H(r)= ae aM a(tr) (9.61) 当系统在最优控制u'(n)作用下,沿最优轨迹x()进行状态转移时的r即是最 优时刻r,略去式(960)和(961)中的符号(*),即得横截条件为 H(x,u,元,1)+ (9.62) (t)= 式(9.53)表明,在最优轨线上 都为常数。又由式(9.56)可知, 该常数为零,所以,沿最优轨迹 0 (9.64) ac ar 由于Φ中包含最,&和&,若将极值曲线上的&,&和或,分别用,或和 表示,则式(964)可以写成 aa 0 (9.65) a ar 上面得到了使性能指标J取极值的必要条件。为了使性能指标取极值, 还必须满足充分条件:维尔斯特拉斯函数E沿最优轨线为非负,即 E=Φ(x,成,r,1)-(x,,,,只,r,D)-()(如R) d(x,最,r,1)+A心(x,北,收,R,2,r,1)-2 =H(x‘,x,1)-H(x,&,A,1)≥0 (9.66) 以at)=l(t),d()=u·(n)代入上式得 H(x,‘,元,)≤H(x',u,,D) 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 10 = −λ ∂ ∂Φ x& 代入式（9.52），得 Γ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = T x G x H dt d ( ) λ 即 Γ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − T x G x H λ & ( ) （9.57） 若不等式约束函数G 内不含 x ，即为 G[u(t),t] ≥ 0 （9.58） 则由于 ≡ 0 ∂ ∂ x G ，由式（9.57）得 x H ∂ ∂ λ &= − （9.59） 由式（9.54）和（9.55），并注意到 = −λ ∂ ∂Φ x& ，可计算出 * f t = t 时的 H 及λ 值 * ( ) [ ] * f t t T f t M v t H t = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − θ （9.60） * ( ) [ ( ) ] * f t t T f v x M x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ λ （9.61） 当系统在最优控制 ( ) * u t 作用下，沿最优轨迹 ( ) * x t 进行状态转移时的 f t 即是最 优时刻 * f t ，略去式（9.60）和（9.61）中的符号（*），即得横截条件为 [ ( , , , ) ( ) ] = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + = f t t T v t M t H x u t θ λ （9.62） f t t T f v x M x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) = [ ( ) ] θ λ （9.63） 式（9.53）表明，在最优轨线上， ∂ω& ∂Φ 和 ∂z& ∂Φ 都为常数。又由式（9.56）可知， 该常数为零，所以，沿最优轨迹 ∂ω& ∂Φ = ≡ 0 ∂ ∂Φ z& （9.64） 由于Φ 中包含 x&，ω&和 z&，若将极值曲线上的 x&，ω&和 z&，分别用 * x& ， * ω& 和 * z& 表示，则式（9.64）可以写成 0 * * ≡ ∂ ∂Φ = ∂ ∂Φ ω& z& （9.65） 上面得到了使性能指标 a J 取极值的必要条件。为了使性能指标取极值， 还必须满足充分条件：维尔斯特拉斯函数 E 沿最优轨线为非负，即 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) ( ) ( ) * * * * * * * * * * * x x x E x x z t x x z t T & & & & & & & & & − ∂ ∂Φ = Φ ω λ Γ − Φ ω λ Γ − * * * * * * * * * * * * (x , x, , z, , ,t) x (x , x , , z , , ,t) x = Φ &ω& &λ Γ + λ T &− Φ & ω& & λ Γ − λ T & ( , , , ) ( , , , ) 0 * * * * * = H x ω&λ t − H x ω& λ t ≥ （9.66） 以ω&(t) = u(t) ， ( ) ( ) * * ω& t = u t 代入上式得 ( , , , ) ( , , , ) * * * * * H x u λ t ≤ H x u λ t （9.67）