自动控制原理电子教案 为极小。 引入拉格朗日乘子向量A及r,写出增广性能指标泛函为 J=Ox)1+yMx0,)1+-1小+(x0-+r(x=]m ox)+yMx(r)1+"{H减1-2r(x)-])d (9.45) 式中,哈密顿函数H(x,或A,1)定义为 H(x, d1, 1)=L(x, r)a' f(x, cr) (9.46) 为了简化问题,定义拉格朗日标量函数Φ为 Φ(x,A,,D)=H(x,或A,)-+G(x,1)- (9.47) 于是,J可以写成 Jn=x(r)y+yMx()1+x减元,, (9.48) 对J。取一阶变分,得 6,,rM at +iaei ax(tn) (9.49) 式中,为最优终端时刻。对上式积分项中的后三项分别进行分部积分,并利 用关系式 i()=()+61f (9.50) 可得 a。=[中- (9.51) ax ax 6x(t)+ + a d a d a d a dt add 根据泛函取极值的必要条件,应有aa=0。由于式(9.51)中8 a,bo和&都是任意的,并且相互独立,所以增广性能指标泛函J取极值 的必要条件为 op d a (9.52) d a d a 0 (9.53) dt ac oo 「如+y2 aM (9.54) arlo (9.55) a &ts,=0,a (9.56) 由式(9.47)得 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 9 为极小。 引入拉格朗日乘子向量λ 及Γ ，写出增广性能指标泛函为 ∫ = + + + − + Γ − f t t T T f f T a f f J x t t v M x t t L x t f x t x G x t z dt 0 [ ( ), ] [ ( ), ] { [ , , ] [ ( , , ) ] [ ( , , ) ]} 2 θ ω& λ ω& & ω& & ∫ = + + − + Γ − f t t T T f f T f f x t t v M x t t H x t x G x t z dt 0 [ ( ), ] [ ( ), ] { [ , , , ] [ ( , , ) ]} 2 θ ω&λ λ & ω& & (9.45) 式中，哈密顿函数 H(x,ω&, λ,t) 定义为 H(x, , ,t) L(x, ,t) f (x, ,t) T ω&λ = ω& + λ ω& （9.46） 为了简化问题，定义拉格朗日标量函数Φ 为 ( , , , , , , ) ( , , , ) [ ( , , ) ] 2 x x z t H x t x G x t z T T Φ &ω& &λ Γ = ω&λ − λ &+ Γ ω& − & （9.47） 于是， a J 可以写成 ∫ = + + Φ Γ f t t f f T a f f J x t t v M x t t x x z t dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ), ] ( , &,ω&, &, λ, , ) （9.48） 对 a J 取一阶变分，得 ∫ ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Φ + = = f f f t t T T T T f t t T T f t t T a z dt z x x x x x t x M v x t t M v t J * * 0 * * [( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] [( ) ] ( ) & & & & & & δω δ ω δ δ δ θ δ θ δ （9.49） 式中， * f t 为最优终端时刻。对上式积分项中的后三项分别进行分部积分，并利 用关系式 f f f f x(t ) x(t ) x(t )δ t δ = δ * + & （9.50） 可得 ∫ ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂Φ = Φ − = = = * 0 * * * [( ) δ ( ) ( ) δ ] [ ( ) ] δ ( ) [( ) δ ( ) δ ] [ ] δ * f f f f t t T T T t t T T f T t t T f t t T T a z dt dt z d dt d x dt x d x z z x t x v x M x t t M v x t J x & & & & & & & & δω ω ω ω θ θ δ （9.51） 根据泛函取极值的必要条件，应有δJ a = 0 。由于式（9.51）中 f δ t ， ( ) * f δx t ， δx ，δω 和δz 都是任意的，并且相互独立，所以增广性能指标泛函 a J 取极值 的必要条件为 = 0 ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ dt x d x & （9.52） = 0 ∂ ∂Φ dt ω& d ， = 0 ∂ ∂Φ dt z d & （9.53） [ ( ) ] * = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂Φ Φ − = f t t T T t M v t x x θ & & （9.54） [ ( ) ] * = 0 ∂ ∂Φ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = f t t T x v x M x & θ （9.55） ( ) * = 0 ∂ ∂Φ = f t t ω& ， ( ) * = 0 ∂ ∂Φ = f t t z& （9.56） 由式（9.47）得 Γ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂Φ T x G x H x ( )