自动控制原理电子教案 to )=xo MIr(tn),fl 终端约束x0y)=(8+(a)n (r)= 9.4极小值原理 控制变量v()受到限制时的最优控制问题,通常称为有约束最优控制问 题。对于有约束最优控制问题,不能应用变分法求解,而需要采用本节所介绍 的极小值原理求解。 9.41连续系统的极小值原理 设系统的状态方程为 求t)=fx(t),u(),n x(t0)=x0 (9.35) 式中,x∈Rn;u∈Ω∈RP;Ω为有界闭集。不等式约束为 G[x(t),u(1),≥0 (9.36) 其中,G为m维连续可微向量函数,m≤p。系统从初始状态x0转移到终端状 态x(),要求终端状态x(/)满足等式约束 M[x(),tf1=0 其中,M为q维连续可微向量函数,q≤n。性能指标为 J=Ol(g),91+L[x(o), u(o),r]dt (9.38) 最优控制问题就是寻找最优容许控制(),使目标函数J最小 为了将不等式约束问题转化为等式约束问题,引入两个新的向量: 1)引入一个新的p维控制变量o( d()=l() o(tl0)=0 (9.39) 这样,就可以容许(1)不连续。因为当()不连续时,o()也是连续的。而当u() 是分段连续函数时,o(1)也是分段光滑连续函数 2)引入另一个新的m维控制变量z(r) [鸢)=Gx(1),u(1),门 (9.40) 由于上式左边恒为非负,所以满足G是非负的要求。 通过以上变换,将上述有不等式约束的最优控制问 化为了下列具有 等式约束的条件极值问题,通常称为波尔扎( bolza)问题: 系统的状态方程为 )=fx(1),d,l (9.41) [)2=Gx(1),a,1 x(0)=x0,z(10)=0,o(to)=0 终端时刻t;未给定,终端状态约束为 Mx(t,),]=0 要求确定最优控制an),使性能指标 J=bxr,r+x(.减D.lt 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理电 子 教 案 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 8 终端约束 0 0 x(t ) = x M[x(t f ),t f ] = 0 f t T f v x M x (t ) [ ( ) ] ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ λ f t T f t M v t H(t ) [ ] ∂ ∂ + ∂ ∂ = − θ 9.4 极小值原理 控制变量 u(t) 受到限制时的最优控制问题，通常称为有约束最优控制问 题。对于有约束最优控制问题，不能应用变分法求解，而需要采用本节所介绍 的极小值原理求解。 9.4.1 连续系统的极小值原理 设系统的状态方程为 x&(t) = f [x(t), u(t),t] 0 0 x(t ) = x （9.35） 式中， n x ∈ R ； p u ∈Ω∈ R ；Ω 为有界闭集。不等式约束为 G[x(t), u(t),t] ≥ 0 （9.36） 其中，G 为 m 维连续可微向量函数，m ≤ p 。系统从初始状态 0 x 转移到终端状 态 ( ) f x t ，要求终端状态 ( ) f x t 满足等式约束 M[x(t f ),t f ] = 0 （9.37） 其中， M 为 q 维连续可微向量函数， q ≤ n 。性能指标为 ∫ = + f t t f f J x t t L x t u t t dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ), ( ), ] (9.38) 最优控制问题就是寻找最优容许控制u(t) ，使目标函数 J 最小。 为了将不等式约束问题转化为等式约束问题，引入两个新的向量： 1）引入一个新的 p 维控制变量ω(t) ω&(t) = u(t) ， ω(t0 ) = 0 （9.39） 这样，就可以容许u(t) 不连续。因为当u(t) 不连续时，ω(t) 也是连续的。而当u(t) 是分段连续函数时，ω(t) 也是分段光滑连续函数。 2）引入另一个新的 m 维控制变量 z(t) [ ( )] [ ( ), ( ), ] 2 z&t = G x t u t t ， z(t0 ) = 0 （9.40） 由于上式左边恒为非负，所以满足G 是非负的要求。 通过以上变换，将上述有不等式约束的最优控制问题，转化为了下列具有 等式约束的条件极值问题，通常称为波尔扎（Bolza）问题： 系统的状态方程为 x&(t) = f [x(t),ω&(t),t] （9.41） [ ( )] [ ( ), ( ), ] 2 z&t = G x t ω&t t （9.42） 0 0 x(t ) = x ， z(t0 ) = 0 ， ω(t0 ) = 0 终端时刻 f t 未给定，终端状态约束为 M[x(t f ),t f ] = 0 （9.43） 要求确定最优控制ω&(t) ，使性能指标 ∫ = + f t t f f J x t t L x t t t dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ),ω&( ), ] (9.44)