它的表达式与b-a有关，但其分布与b-a无关，取T为枢轴变量.故有 P 卫-x-(b-a) mn S. ≤tm+n-2(a/2)） =1-a m+n 由不等式的等价变形，可得b-a的置信系数为1-a的置信区间为 [P--nn-()V+-+nn-()+月 (2.7) 其中tm+n-2(a/2)为自由度m+n-2的t分布的上侧a/2分位数。 (4)当σ/o子=入，入已知时，基于b-a的无偏估计乎-京的枢轴变量及其分布为 T- mn(m+n-2)--(b-a) m入+n VQi+Q2/X tn+m-2, 此处Q=(m-1)S=∑m1(X:-)2,Q号=(m-1)S号=∑”1(Y-)2.故有 mn(m+n-2) 卫--(b-a) m入+n ≤tm+n-2(a/2)=1-a. VQ+Q3/X 由不等式的等价变形，得到b-a的置信系数1-α的置信区间为 7-元-tm+n-2(a/2)1 m入+n mn(m+n-2) VQ:+Q3/X, 卫-+tm+n-2(a/2)1 m入+n mn(m+n-2) VQi+Q3/X (5)当o子≠o且皆未知时，要求b-a的置信区间问题.这是著名的Behrens--Fisher问题 它是Behrens在1929年从实际应用提出的问题，它的几种特殊情况如上所述，已获圆满解决，但 一般情况至今还有文献在讨论.Fisher首先研究了这个问题，并对一般情况给出近似解法.随后 许多著名统计学家，如Scheffe和Welch等也研究过这个问题.至今还得不出简单、精确的解法. 只提出一些近似的解法.下面给出两种近似结果。 ()当m与n都充分大时可用大样本方法，由于 亚--(b-a) ~N(0,1) (2.8) Voi/m+a3/n 且S?P,S号P2,将(2.8)中的子和2分别用S和S号代入，得 --6-@乡N(0,1). VS2/m+S2/n 因此，当m,n充分大时b-a的置信系数近似为1-a的置信区间是 下-x-2VS/m+53/m,Y-x+u2√s/m+5号/m: (2.9) ()一般情形，即m和n都不是充分大的情形.令 S2=S/m+S2/n. 10ßLà™Üb − a k', Ÿ©ŸÜb − a Ã', T èÕ¶C˛. k P     Y¯ − X¯ − (b − a) Sω     r mn m + n ≤ tm+n−2(α/2) = 1 − α, dÿ™dC/, åb − a ò&XÍè1 − α ò&´mè  Y¯ − X¯ − Sωtm+n−2 α 2 r 1 m + 1 n , Y¯ − X¯ + Sωtm+n−2 α 2 r 1 m + 1 n  , (2.7) Ÿ•tm+n−2(α/2) ègd›m + n − 2 t©Ÿ˛˝α/2 ©†Í. (4) σ 2 2/σ2 1 = λ, λ Æû, ƒub − a ÆOY¯ − X¯ Õ¶C˛9Ÿ©Ÿè T = r mn(m + n − 2) mλ + n · Y¯ − X¯ − (b − a) p Q2 1 + Q2 2 /λ ∼ tn+m−2, d?Q2 1 = (m − 1)S 2 1 = Pm i=1(Xi − X¯) 2 , Q2 2 = (n − 1)S 2 2 = Pn i=1(Yi − Y¯ ) 2 . k P r mn(m + n − 2) mλ + n ·     Y¯ − X¯ − (b − a) p Q2 1 + Q2 2 /λ     ≤ tm+n−2(α/2) = 1 − α. dÿ™dC/, b − a ò&XÍ1 − α ò&´mè  Y¯ − X¯ − tm+n−2(α/2)s mλ + n mn(m + n − 2) · q Q2 1 + Q2 2 /λ, Y¯ − X¯ + tm+n−2(α/2)s mλ + n mn(m + n − 2) · q Q2 1 + Q2 2 /λ  . (5) σ 2 1 6= σ 2 2 Öôû, á¶b − a ò&´mØK. ˘¥Õ¶Behrens-Fisher ØK. ߥBehrens 31929cl¢SA^J—ØK, ßA´Aœú¹X˛§„, ƺ˜)˚, òÑú¹ñ8Ñk©z3?ÿ. FisherƒkÔƒ ˘áØK, øÈòÑú¹â—Cq){. ë￾ NıÕ¶⁄OÆ[, XScheffe ⁄Welch èÔƒL˘áØK. ñ8Ñÿ—{¸!°(){. êJ—ò Cq){. e°â—¸´Cq(J. (i) m Ün —ø©åûå^åê{, du Y¯ − X¯ − (b − a) p σ 2 1 /m + σ 2 2 /n ∼ N(0, 1), (2.8) ÖS 2 1 P −→ σ 2 1 , S2 2 P −→ σ 2 2 , Ú(2.8)•σ 2 1 ⁄σ 2 2 ©O^S 2 1 ⁄S 2 2 ì\,  Y¯ − X¯ − (b − a) p S 2 1 /m + S 2 2 /n L −→ N(0, 1). œd, m, n ø©åûb − a ò&XÍCqè1 − α ò&´m¥ h Y¯ − X¯ − uα/2 q S 2 1 /m + S 2 2 /n, Y¯ − X¯ + uα/2 q S 2 1 /m + S 2 2 /n i . (2.9) (ii) òÑú/, =m ⁄n —ÿ¥ø©åú/. - S 2 ∗ = S 2 1 /m + S 2 2 /n. 10