三、两个正态总体参数的置信区间 设X1,·,Xm是自正态总体N(a,o)抽取的简单随机样本，Yi,·,Yn是自正态总 体N(6,σ)抽取的简单随机样本，且合样本独立.设，Y和S保，S子分别为这两组样本的样 本均值和样本方差，其中S=m二一∑严1(X:-)2,S号=马∑1(Y-了)2.下面分两种情况 讨论两个正态总体均值差和方差比的置信区间问题. 1.均值差b-a的置信区间 分下列几种情况： (1)当m=n时，令Z=Y-X,i=1,2,…,n,且记立=b-a,2=o+,则有 Zi心N(立，)，i=1,2,…,n. 这就转化为单个正态总体当2未知，求其均值立的置信区间问题.显见Z=卫一了是立的一个 良好的无偏估计，枢轴变量 T2=(Z-)/Sz心tn-1: 此处S=马∑1(Z:-2)2,T2的表达式与立=b-a有关，但其分布与产无关，因此取Tz为 枢轴变量.由前面已讨论过的情形的结果，可知立=b-a的置信系数为1-α的置信区间为 2-装-am,2+号是-1a2创 (2.5) (2)当a子和σ号已知时，我们知道Y-为b-a的一个良好的无偏估计，枢轴变量 Tu= 卫-x-(b-a) N(0,1), Vai/m+az/n 故有 ..voi 1亚--(b-a) =1-a. 再用不等式的等价变形得到b-a的置信系数为1-α的置信区间为 [--a/2√o/m+a/m,了-x+ua2yai/m+a/m (2.6) (3)当σ1=号=σ2未知时，令 1 S2= m+n-2 (m-1)S子+(m-1)s号 m+-22x-P+-] 显然7-是b-a的无偏估计，由推论2.4.3可知枢轴变量 卫-x-(b-a mn S. ~tn+m-2; Vm+n 9n!¸áoNÎÍò&´m X1, · · · , Xm ¥goNN(a, σ2 1 ) ƒ{¸ëÅ, Y1, · · · , Yn ¥go NN(b, σ2 2 ) ƒ{¸ëÅ, Ö‹’·. X, ¯ Y¯ ⁄S 2 X, S2 Y ©Oè˘¸| ˛ä⁄ê, Ÿ•S 2 1 = 1 m−1 Pm i=1(Xi − X¯) 2 , S2 2 = 1 n−1 Pn i=1(Yi − Y¯ ) 2 . e°©¸´ú¹ ?ÿ¸áoN˛ä⁄ê'ò&´mØK. 1. ˛äb − a ò&´m ©eA´ú¹: (1) m = n û, -Zi = Yi − Xi , i = 1, 2, · · · , n, ÖPµ˜ = b − a, σ˜ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 , Kk Zi ∼ N(˜µ, σ˜ 2 ), i = 1, 2, · · · , n. ˘“=zè¸áoNσ˜ 2 ô, ¶Ÿ˛äµ˜ ò&´mØK. wÑZ¯ = Y¯ − X¯ ¥µ˜ òá ˚–ÆO, Õ¶C˛ TZ = √ n(Z¯ − µ˜)  SZ ∼ tn−1, d?S 2 Z = 1 n−1 Pn i=1(Zi − Z¯) 2 , TZ Là™Üµ˜ = b − a k', Ÿ©ŸÜµ˜ Ã', œdTZè Õ¶C˛. dc°Æ?ÿLú/(J, 嵘 = b − a ò&XÍè1 − α ò&´mè  Z¯ − √ SZ n tn−1(α/2),Z¯ + √ SZ n tn−1(α/2) . (2.5) (2) σ 2 1 ⁄σ 2 2 Æû, ·ÇY¯ − X¯ èb − a òá˚–ÆO, Õ¶C˛ TU = Y¯ − X¯ − (b − a) p σ 2 1 /m + σ 2 2 /n ∼ N(0, 1), k Pa,b    Y¯ − X¯ − (b − a) p σ 2 1 /m + σ 2 2 /n     ≤ uα/2  = 1 − α. 2^ÿ™dC/b − a ò&XÍè1 − α ò&´mè h Y¯ − X¯ − uα/2 q σ 2 1 /m + σ 2 2 /n, Y¯ − X¯ + uα/2 q σ 2 1 /m + σ 2 2 /n i . (2.6) (3) σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2 ôû, - S 2 ω = 1 m + n − 2  (m − 1)S 2 1 + (n − 1)S 2 2  = 1 m + n − 2 Xm i=1 (Xi − X¯) 2 + Xn i=1 (Yi − Y¯ ) 2  , w,Y¯ − X¯ ¥b − a ÆO, dÌÿ2.4.3åÕ¶C˛ T = Y¯ − X¯ − (b − a) Sω r mn m + n ∼ tn+m−2, 9