证明:由定理3易得S△A=|2-nD=m的绝对值又因为 0 1y-3/1 y11 所以,S△A4= 的绝对值 下面从推论4三角形面积的行列式公式入手,通过几条不同的途径,进一步 阐述三角形面积的几种行列式公式 (1)已知三个顶点的情形 将坐标平面看作复平面,△A1A243的顶点用复数k=xk+ik表示,(k= 1,2,3)由于 I+iy1 y1 1 ly1 C2 92 T2+ig2 92 1=1 z2 -ig2 1 3+iy3331 3 r1x1+ T2 92 1=i a2 r2+ig2 3 y3 33+ 2y3 由(1),(2)可得 其中买是xk的共轭复数,所以 △A1A2A3 2z1的模 4 2)已知三边的情形 设在直角坐标系下,S△A1A2A3的三边方程为akx+bky+ck,(k=1,2,3),应 用 cramer法则,将交点坐标用系数表示出来,代入推论4中公式,易得 2♥♦♣q❷✈ 3, ❸ ✫ S4A1A2A3 = 1 2      x2 − x1 y2 − y1 x3 − x1 y3 − y1      ✘⑨⑩❶❹❏❧ 1 2      x2 − x1 y2 − y1 x3 − x1 y3 − y1      = 1 2        0 0 1 x2 − x1 y2 − y1 1 x3 − x1 y3 − y1 1        = 1 2        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        , ❺✺✣ S4A1A2A3 = 1 2        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        ✘⑨⑩❶❨ ⑦♠✵❻① 4 ❤❥✸♠❄✘❊❋●❼●❽❾✣◆❖✒❿➀ ➁✘➂➃✣➄✧➅ ➆➇❤❥✸♠❄✘✒➈❊❋●❼●❨ (1) ➉➊➋➌➍➎❴➏➐ ➑✜✢⑤ ♠➒➓➔⑤ ♠✣ 4A1A2A3 ✘❦✬✭➔✱ zk = xk + iyk ✳✴✣ (k = 1, 2, 3) qr        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        =        x1 + iy1 y1 1 x2 + iy2 y2 1 x3 + iy3 y3 1        = i        z1 −iy1 1 z2 −iy2 1 z3 −iy3 1        (1)        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        = i        x1 x1 + iy1 1 x2 x2 + iy2 1 x3 x3 + iy3 1        = i        z1 x1 1 z2 x2 1 z3 x3 1        (2) q (1),(2) ✹✫        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        = i 2        z1 z1 1 z2 z2 1 z3 z3 1        , →✔ zk ✛ zk ✘➣↔➔✱✣❺✺ S4A1A2A3 = i 4        z1 z1 1 z2 z2 1 z3 z3 1        ✘↕. (2) ➉➊➋➙❴➏➐ ⑧ ④ ⑥❥✜✢✩⑦✣ S4A1A2A3 ✘❤➛✙✻❧ akx + bky + ck ,(k = 1, 2, 3), ➜ ✭ cramer ✚ ❣ ✣➑➝✬✜✢✭✩✱ ✳✴➞✼✣➟❽❻① 4 ✔❼●✣❸ ✫ 2