解似然函数，即样本X=(X1,·,Xn)的分布为 L(A,x)=P(X1=z1;...,Xn=In)= …m入>0. 故对数似然函数为 1(入，x)= (sA--s 由对数似然方程 (入，x=1∑x-n=0, i=1 解得 ==x. n-1 由于Poisson分布族是指数族，故入*=为λ的MLE,它与入的矩估计量相同. 又由定义可知g()=e~入的MLE为 g(X)=e-x」 例4.设X=(X1,…,Xn)是从正态分布族{N(a,o2):o2>0,-∞<4<o}中抽取的简单 样本，求a,σ2和g(0)=a/σ2的MLE,此处0=(a,o2). 解样本X=(X1,·,Xn)的分布为 e-()”脚{品君-r 对数似然函数为 0a对=sfk=-号g-登%o2-x-以 由对数似然方程组 i=1 a(0,x) n,1 0o2 262+ 解得 a*=灭， -1∑(x-x2-s 1 由于正态分布族为指数族，故à*=和？=S号分别是a和σ的MLE,它们也分别是a和σ2的 矩估计量.前者是α的无偏估计，后者不是的无偏估计.可见极大似然估计不一定具有无偏 性 又由定义可知g(0)=a/a2的ME为 g(X)=/S品 5) q,ºÍ,=X = (X1, · · · , Xn)©Ÿè L(λ, x) = P(X1 = x1, · · · , Xn = xn) = λ Pn i=1 xi e −nλ x1! · · · xn! , λ > 0. ÈÍq,ºÍè l(λ, x) = Xn i=1 xi  log λ − nλ − Xn i=1 log xi ! . dÈÍq,êß ∂l(λ, x) ∂λ = 1 λ Xn i=1 xi − n = 0, ) λˆ∗ = X¯ = 1 n Xn i=1 Xi . duPoisson©Ÿx¥çÍx, λˆ∗ = X¯èλMLE, ßÜλ›O˛É”. qd½¬åg(λ) = e −λMLEè gˆ ∗ (X) = e −X¯ . ~4. X = (X1, · · · , Xn)¥l©Ÿx{N(a, σ2 ) : σ 2 > 0, −∞ < µ < ∞}•ƒ{¸ , ¶a, σ2⁄g(θ) = a/σ2MLE, d?θ = (a, σ2 ). ) X = (X1, · · · , Xn)©Ÿè f(x, θ) =  1 √ 2πσ n exp ( − 1 2σ 2 Xn i=1 (xi − a) 2 ) . ÈÍq,ºÍè l(θ, x) = log f(x, θ) = − n 2 log 2π − n 2 log σ 2 − 1 2σ 2 Xn i=1 (Xi − a) 2 . dÈÍq,êß| ∂l(θ, x) ∂a = 1 σ 2 Xn i=1 (Xi − a) = 0, ∂l(θ, x) ∂σ2 = − n 2σ 2 + 1 2σ 4 Xn i=1 (Xi − a) 2 = 0, ) aˆ ∗ = X, ¯ σˆ 2 ∗ = 1 n Xn i=1 (Xi − X¯) 2 = S 2 n . du©ŸxèçÍx, aˆ ∗ = X¯⁄σˆ 2 ∗ = S 2 n ©O¥a⁄σ 2MLE,ßÇè©O¥a⁄σ 2 ›O˛. cˆ¥aÆO, ￾ˆÿ¥σ 2ÆO. åÑ4åq,Oÿò½‰kÆ 5. qd½¬åg(θ) = a/σ2MLEè gˆ ∗ (X) = X¯  S 2 n . 5