由于0和01都是方程8(0)/80=0的解，因此H'(0)=H'(1)=0,所以存在0<to<1,使 得H"(to)=0.记 6=to0o+(1-to)01 则 H"(to)=(0-91)'Q(to)(00-61)=0 其中Q(0)=2=-Var(伍(X),,k(X)<0,对任意的6内点8，上式与此特性矛盾. 因此00=01： 另一方面，若为一个解，而用01表示日中任意一点，则前面构造的函数H(t)满足H'(1)= 0,H"(t)<0.因此H'(t)>0,0≤t<1.所以H(1)>H(0),即(o)>1(01),o为的极大点. 因此若样本分布为指数族，只要似然方程解属于自然参数空间的内点集（这点很容易验 证)，则其解必为的MLE.常见的分布族，如二项分布族、Poisson分布族、正态分布族、Gamma 分布族等都是指数族，定理3.3.1的条件皆成立.因此似然方程的解，就是有关参数的MLE 2.从定义出发 若似然函数L(0,x)不是的可微函数，特别当似然函数L(0,x)不是的连续函数时，我们不 能采用上述方法，必须直接从定义3.3.2出发去求参数0的极大似然估计. 下面我们分别用上述两种方法考察一些例子 例2.设X=(X1,…,X)是从两点分布族{b(1,p):0<p<1}中抽取的简单样本，求p和gp)= p1-p)的MLE. 解似然函数为 p,刘=pa-列- 故有 刘=g刘=()sp+(a-∑X)g1-m 对数似然方程为 w-8-÷(-含=a 解得 x=x 2=1 由于两点分布族为指数族，故*=为p的MLE.它与例3.2.2中给得出的p的矩估计量相同. 按定义可知g(p)=p(1-p)的MLE为 g*(X)=*(1-*)=X(1-): 例3.设X=(X1,·,Xn)是从Poisson分布族{P()：入>0}中抽取的简单样本，求入和g(A)= e-入的MLE. 4duθ0⁄θ1—¥êß∂l(θ)/∂θ = 0), œdH0 (0) = H0 (1) = 0, §±30 < t0 < 1, ¶ H00(t0) = 0. P ˜θ = t0θ0 + (1 − t0)θ1 K H00(t0) = (θ0 − θ1) 0Q(t0)(θ0 − θ1) = 0 Ÿ•Q(θ) = ∂ 2 logC(θ) ∂θ∂θT = −V ar(T1(X), · · · , Tk(X)) < 0, È?øΘS:θ, ˛™ÜdA5gÒ. œdθ0 = θ1. ,òê°, eθ0èòá), ^θ1L´Θ•?øò:, Kc°EºÍH(t)˜vH0 (1) = 0, H00(t) < 0. œdH0 (t) > 0, 0 ≤ t < 1. §±H(1) > H(0), =l(θ0) > l(θ1), θ0èl4å:. œde©ŸèçÍx, êáq,êß)·ug,ÎÍòmS:8(˘:ÈN¥ y), KŸ)7èθMLE. ~Ñ©Ÿx, Xë©Ÿx!Poisson©Ÿx!©Ÿx!Gamma ©Ÿx—¥çÍx, ½n3.3.1^᧷. œdq,êß), “¥k'ÎÍMLE. 2. l½¬—u eq,ºÍL(θ, x)ÿ¥θåáºÍ,AOq,ºÍL(θ, x)ÿ¥θÎYºÍû, ·Çÿ UÊ^˛„ê{, 7LÜl½¬3.3.2—u¶ÎÍθ4åq,O. e°·Ç©O^˛„¸´ê{ ò ~f. ~2. X = (X1, · · · , Xn)¥l¸:©Ÿx{b(1, p) : 0 < p < 1}•ƒ{¸, ¶p⁄g(p) = p(1 − p)MLE. ) q,ºÍè L(p, x) = p Pn i=1 xi (1 − p) n− Pn i=1 xi , k l(p, x) = log L(p, x) = Xn i=1 xi  log p +  n − Xn i=1 Xi  log(1 − p) ÈÍq,êßè ∂l(p, x) ∂p = 1 p Xn i=1 xi − 1 1 − p n − Xn i=1 xi ! = 0, ) pˆ ∗ = 1 n Xn i=1 Xi = X. ¯ du¸:©ŸxèçÍx, pˆ ∗ = X¯èpMLE. ßÜ~3.2.2•â—p›O˛É”. U½¬åg(p) = p(1 − p)MLEè gˆ ∗ (X) = ˆp ∗ (1 − pˆ ∗ ) = X¯(1 − X¯). ~3. X = (X1, · · · , Xn)¥lPoisson©Ÿx{P(λ) : λ > 0}•ƒ{¸, ¶λ⁄g(λ) = e −λMLE. 4