解因fx)连续，f)必可积，从而f0)d是常数，记f0)d=a,则 fx)=x+3a,且x+3a)d=∫fu)d-a 所以 r+3a6=a,即+3如=a 从而a=-子所以f)=x- 倒2设m-任-70咖，0552，求，并时论F 的连续性 分析由于fx)是分段函数，故对Fx)也要分段讨论。 解(1)求F()的表达式. F(x)的定义域为0,2.当x∈0，]时，[0，xc0,因此 Fx)=fuh=广3dh=tG=x2. 当xe(1,2]时，0，x=0,U,x,因此，则 Fx)=3h+∫6-21)d=t16+[-2T=-3+5x-x2, nw-6.e-d 0≤x<1 (2)F)在0,1)及(1,2]上连续，在x=1处，由于 mFx)=m-3+5x-)=l,mF)=mr=l,F0=1. 因此，F()在x=1处连续，从而F(x)在0,2]上连续. 错误解答(1)求F(x)的表达式， 当x∈0,1)时， F(x)=[f(ndi=[3rdi=[=x. 当x∈l,2]时，有 Fx)=∫f0d=6-2)d=5x-x2. 故由上可知 m-长9 (2)F(x)在0,1)及(L,2]上连续，在x=1处，由于 lim F(x)=lim(5x-)=4.lim F(x)=lim=1.F(1)=1.解 因 f x( ) 连续， f x( ) 必可积，从而 1 0 f t dt ( )  是常数，记 1 0 f t dt a ( ) =  ，则 f x x a ( ) 3 = + ，且 1 1 0 0 ( 3 ) ( ) x a dx f t dt a + = =   ． 所以 2 1 0 1 [ 3 ] 2 x ax a + = ，即 1 3 2 + = a a ， 从而 1 4 a = − ，所以 3 ( ) 4 f x x = − ． 例 21 设 2 3 , 0 1 ( ) 5 2 , 1 2 x x f x x x    =   −   ， 0 ( ) ( ) x F x f t dt =  ，0 2  x ，求 F x( ) , 并讨论 F x( ) 的连续性． 分析 由于 f x( ) 是分段函数, 故对 F x( ) 也要分段讨论． 解 （1）求 F x( ) 的表达式． F x( ) 的定义域为 [0,2] ．当 x[0,1] 时， [0, ] [0,1] x  , 因此 2 3 3 0 0 0 ( ) ( ) 3 [ ] x x x F x f t dt t dt t x = = = =   ． 当 x(1,2] 时， [0, ] [0,1] [1, ] x x = , 因此, 则 1 2 0 1 ( ) 3 (5 2 ) x F x t dt t dt = + −   = 3 1 2 0 1 [ ] [5 ]x t t t + − = 2 − + − 3 5x x ， 故 3 2 , 0 1 ( ) 3 5 , 1 2 x x F x x x x    =  − + −   ． (2) F x( ) 在 [0,1) 及 (1,2] 上连续, 在 x = 1 处，由于 2 1 1 lim ( ) lim( 3 5 ) 1 x x F x x x → → + + = − + − = , 3 1 1 lim ( ) lim 1 x x F x x → → − − = = , F(1) 1 = ． 因此, F x( ) 在 x = 1 处连续, 从而 F x( ) 在 [0,2] 上连续． 错误解答 （1）求 F x( ) 的表达式, 当 x[0,1) 时， 2 3 3 0 0 0 ( ) ( ) 3 [ ] x x x F x f t dt t dt t x = = = =   ． 当 x[1,2] 时，有 0 ( ) ( ) x F x f t dt = =  0 (5 2 ) x − t dt  = 2 5x x − ． 故由上可知 3 2 , 0 1 ( ) 5 ,1 2 x x F x x x x    =   −   ． (2) F x( ) 在 [0,1) 及 (1,2] 上连续, 在 x = 1 处，由于 2 1 1 lim ( ) lim(5 ) 4 x x F x x x → → + + = − = , 3 1 1 lim ( ) lim 1 x x F x x → → − − = = , F(1) 1 = ．