例17证明：若函数f)在区间[a,)上连续且单调增加，则有 x≥生1e达. 证法1令Fx)=fu-a十f0d,当1e[a,x]时，f0)sf),则 F)=)-foh-a生产f=2-3f0d ≥2f-ft=,fx-f)=0. 故F(x)单调增加.即F(x)≥F(a),又F(a=0,所以Fx)≥0，其中xea, 从而 Fo)=广-a生e本≥0.证华. 证法2由于fx)单调增加，有(x-a牛)-牛≥0，从而 广x-生-生20. e-生e≥x-a生生=f生x-生=0. 故 [e达2eh 例8计算xd本 分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分 解到=←+心迹=乏+5=； 注在使用牛顿一莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如 」子女=士=石，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数子在x=0处间断且在被 积区间内无界。 例19计算∫max{x2,xd体. 分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 a-f 解m,油-或+=写-}-名 例20设fx)是连续函数，且fx)=x+3∫0灿，则f(x)= 分析本题只需要注意到定积分广f(x)d是常数(a,b为常数). 例 17 证明：若函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续且单调增加，则有 ( ) b a xf x dx  ( ) 2 b a a b f x dx +   ． 证法 1 令 F x( ) = ( ) ( ) 2 x x a a a x tf t dt f t dt + −   ，当 t a x [ , ] 时， f t f x ( ) ( )  ，则 F x ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 x a a x xf x f t dt f x + − −  = 1 ( ) ( ) 2 2 x a x a f x f t dt − −   1 ( ) ( ) 2 2 x a x a f x f x dt − −  = ( ) ( ) 2 2 x a x a f x f x − − − = 0 ． 故 F x( ) 单调增加．即 F x F a ( ) ( )  ，又 F a( ) 0 = ，所以 F x( ) 0  ，其中 x a b [ , ] ． 从而 F b( ) = ( ) ( ) 2 b b a a a b xf x dx f x dx + −    0 ．证毕． 证法 2 由于 f x( ) 单调增加，有 ( )[ ( ) ( )] 2 2 a b a b x f x f + + − −  0 ，从而 ( )[ ( ) ( )] 2 2 b a a b a b x f x f dx + + − −   0 ． 即 ( ) ( ) 2 b a a b x f x dx + −  ( ) ( ) 2 2 b a a b a b x f dx + +  −  = ( ) ( ) 2 2 b a a b a b f x dx + + −  = 0 ． 故 ( ) b a xf x dx  ( ) 2 b a a b f x dx +   ． 例 18 计算 2 1 | | x dx − ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 | | x dx − ＝ 0 2 1 0 ( ) x dx xdx − − +   ＝ 2 2 0 2 1 0 [ ] [ ] 2 2 x x − + − ＝ 5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 3 2 2 2 1 1 1 [ ] 6 dx x x − − = − =  ，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数 2 1 x 在 x = 0 处间断且在被 积区间内无界. 例 19 计算 2 2 0 max{ , } x x dx  ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 2 1 2 ( ) 0 1 x x f x x x    =     ． 解 2 3 2 1 2 2 2 1 2 0 1 0 0 1 1 7 17 max{ , } [ ] [ ] 2 3 2 3 6 x x x x dx xdx x dx = + = + = + =    例 20 设 f x( ) 是连续函数，且 1 0 f x x f t dt ( ) 3 ( ) = +  ，则 f x( ) _ = ． 分析 本题只需要注意到定积分 ( ) b a f x dx  是常数（ a b, 为常数）．