·288· 智能系统学报 第11卷 素。其中，概念可以分别从内涵和外延两个不同角 差信息，存在一定的局限性。针对上述情况，许多学 度进行刻画，具有丰富的语义，有助于深化人们对现 者尝试发展直接面向集值信息系统的知识获取方 实生活中概念的概要认识和准确理解：代数格结构 法[3]，诸如基于相容关系、优势关系等的粗糙集 作为一种基于序关系建立起来的概念层次模型，客 模型。直接处理方法不经过数据预处理，能直接对 观上反映了概念之间的泛化/特化关系：伽罗瓦连接 原始数据进行处理，可以有效避免由于数据预处理 则为生成概念和代数结构的核心理论基础。近年 不当所导致的偏差逐层传导扩大。 来，关于概念格的基础理论研究和应用拓展已经取 针对上述不确定性问题，同时考虑到概念格在 得了一系列重要成果[.1o] 二元关系分析中的良好数学基础，本文引入了概念 虽然上述理论方法上存在一定差异，但集合论 格，并重点探讨了基于相容关系的粒化模型和集值 和二元关系都是它们的建模基础，同时它们均面向 系统中的格代数结构，该代数结构可以将论域中的 相类似的数据集，这就意味着它们之间可能存在着 所有覆盖以格的形式有机结织起来。此外，本文还 某种紧密的关联。在充分挖掘它们各自理论优势的 重点探讨了集值信息系统中的约简、核等问题。总 基础上，探讨二者之间的融合理论必将有助于粗糙 的来讲，本文结论一方面有助于拓展概念格的应用 集和概念格的进一步拓展。近年来，许多学者探讨 范围，另一方面也为集值信息系统的分析和处理提 了它们之间的融合理论。一些学者把概念格中 供了一种有益思路。 的概念思维、格代数结构、伽罗瓦连接等要素引入到 1概念格 粗糙集中，探讨了信息系统中的格代数结构、约简、 规则获取等2)：一些学者把形式背景视为一类特 定义1一个形式背景通常由一个三元组 殊的信息系统，然后借助粗糙集中的近似算子和区 (G,M,I)来表示，其中G和M分别是非空有限的对 分矩阵，提出了概念格中的粗糙概念分析、属性约 象集和属性集，I二GxM。一个典型的形式背景如表 简，以及上近似格和下近似格等[46；一些学者从 1所示，其中websitel,website2,…,website6分别 不同角度对比了两种理论，揭示了它们之间的紧密 表示一些网站的编号；Finance,Culture,…,Shop 联系[20]，这样做不仅有助于人们从不同角度深化 ping则表示上述网站可能涉及的一些主题：若某个 对单一理论的认识和理解，同时也有助于两种理论 网站含有某种主题，用“×”进行标记。 之间的深度融合。 表1一个典型的形式背景 在关于经典信息系统的描述中，对象在属性下 Table 1 A typical formal context 的取值是唯一的。然而，在一些复杂的信息系统，对 Finance Culture Military History Shopping 象在属性下的取值有时可能不是一个值，而是由若 website 1 + 干个元素组成的一个非空集合，即取值不是一个值 website 2 + 而是一个集合。当取值是一个集合时，若其代表一 website 3 个取值范围，那么此时取值就存在一定的不确定性。 website 4 × 例如，在地震预测中，不同专家可能得出不一样的预 测结果，也许这些预测结果都是合理的，但却只有一 website 5 种预测是正确的。据此，人们将经典信息系统进一 website 6 步泛化为集值信息系统。本质上，信息的不完备性 定义2定义1在形式背景(G,M,)中，对于 也可以理解为上述不确定性的一种特殊情况2122]。 任意X∈P(G),定义 例如，在不完备信息系统中，针对取值缺失的情况， X°={m∈Ml(x,m)∈I,Hx∈X} 人们通常会用一个集合替代某个缺失值，即依据先 相应地，对于任意B∈P(M),定义 验知识或算法将缺失值限定在某个范围，并将该范 B·={x∈Gl(x,m)∈I,Hm∈B} 围视为缺失值。在此意义下，不完备信息系统本质 其中P(G)和P(M)分别是G和M的幂集。如 上是一种特殊的集值信息系统。针对上述不确定 果X·=B且B·=X,则称(X,B)是一个形式概念，其 性，以往人们更多采用的是一些间接的知识获取方 中X和B分别是外延和内涵。若将任意概念 法，即数据建模是建立在对数据预处理的基础之上。 (X1,B)和(X2,B2)之间的序关系“≤”定义为 此类方法虽然简单易用，但数据预处理可能会丢失 (X1,B)≤(X2,B2)台X1SX2台B12B2 大量的有用信息或由于人为因素增加一些额外的偏 在此意义下，偏序集(B(G,M,I),≤)本质上是素。 其中，概念可以分别从内涵和外延两个不同角 度进行刻画，具有丰富的语义，有助于深化人们对现 实生活中概念的概要认识和准确理解；代数格结构 作为一种基于序关系建立起来的概念层次模型，客 观上反映了概念之间的泛化／ 特化关系；伽罗瓦连接 则为生成概念和代数结构的核心理论基础。 近年 来，关于概念格的基础理论研究和应用拓展已经取 得了一系列重要成果［７⁃１０］ 。 虽然上述理论方法上存在一定差异，但集合论 和二元关系都是它们的建模基础，同时它们均面向 相类似的数据集，这就意味着它们之间可能存在着 某种紧密的关联。 在充分挖掘它们各自理论优势的 基础上，探讨二者之间的融合理论必将有助于粗糙 集和概念格的进一步拓展。 近年来，许多学者探讨 了它们之间的融合理论［１１］ 。 一些学者把概念格中 的概念思维、格代数结构、伽罗瓦连接等要素引入到 粗糙集中，探讨了信息系统中的格代数结构、约简、 规则获取等［１２⁃１３］ ；一些学者把形式背景视为一类特 殊的信息系统，然后借助粗糙集中的近似算子和区 分矩阵，提出了概念格中的粗糙概念分析、属性约 简，以及上近似格和下近似格等［１４⁃１６］ ；一些学者从 不同角度对比了两种理论，揭示了它们之间的紧密 联系［１７⁃２０］ ，这样做不仅有助于人们从不同角度深化 对单一理论的认识和理解，同时也有助于两种理论 之间的深度融合。 在关于经典信息系统的描述中，对象在属性下 的取值是唯一的。 然而，在一些复杂的信息系统，对 象在属性下的取值有时可能不是一个值，而是由若 干个元素组成的一个非空集合，即取值不是一个值 而是一个集合。 当取值是一个集合时，若其代表一 个取值范围，那么此时取值就存在一定的不确定性。 例如，在地震预测中，不同专家可能得出不一样的预 测结果，也许这些预测结果都是合理的，但却只有一 种预测是正确的。 据此，人们将经典信息系统进一 步泛化为集值信息系统。 本质上，信息的不完备性 也可以理解为上述不确定性的一种特殊情况［２１⁃２２］ 。 例如，在不完备信息系统中，针对取值缺失的情况， 人们通常会用一个集合替代某个缺失值，即依据先 验知识或算法将缺失值限定在某个范围，并将该范 围视为缺失值。 在此意义下，不完备信息系统本质 上是一种特殊的集值信息系统。 针对上述不确定 性，以往人们更多采用的是一些间接的知识获取方 法，即数据建模是建立在对数据预处理的基础之上。 此类方法虽然简单易用，但数据预处理可能会丢失 大量的有用信息或由于人为因素增加一些额外的偏 差信息，存在一定的局限性。 针对上述情况，许多学 者尝试发展直接面向集值信息系统的知识获取方 法［２３⁃２８］ ，诸如基于相容关系、优势关系等的粗糙集 模型。 直接处理方法不经过数据预处理，能直接对 原始数据进行处理，可以有效避免由于数据预处理 不当所导致的偏差逐层传导扩大。 针对上述不确定性问题，同时考虑到概念格在 二元关系分析中的良好数学基础，本文引入了概念 格，并重点探讨了基于相容关系的粒化模型和集值 系统中的格代数结构，该代数结构可以将论域中的 所有覆盖以格的形式有机结织起来。 此外，本文还 重点探讨了集值信息系统中的约简、核等问题。 总 的来讲，本文结论一方面有助于拓展概念格的应用 范围，另一方面也为集值信息系统的分析和处理提 供了一种有益思路。 １ 概念格 定义 １ 一个形式背景通常由一个三元组 (Ｇ，Ｍ，Ｉ) 来表示，其中 Ｇ 和 Ｍ 分别是非空有限的对 象集和属性集，Ｉ⊆Ｇ×Ｍ。 一个典型的形式背景如表 １ 所示，其中 ｗｅｂｓｉｔｅ１， ｗｅｂｓｉｔｅ２， …， ｗｅｂｓｉｔｅ６ 分别 表示一些网站的编号；Ｆｉｎａｎｃｅ， Ｃｕｌｔｕｒｅ， …， Ｓｈｏｐ⁃ ｐｉｎｇ 则表示上述网站可能涉及的一些主题；若某个 网站含有某种主题，用“×”进行标记。 表 １ 一个典型的形式背景 Ｔａｂｌｅ １ Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ Ｆｉｎａｎｃｅ Ｃｕｌｔｕｒｅ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｈｉｓｔｏｒｙ Ｓｈｏｐｐｉｎｇ ｗｅｂｓｉｔｅ １ × × × ｗｅｂｓｉｔｅ ２ × × × × ｗｅｂｓｉｔｅ ３ × × × × ｗｅｂｓｉｔｅ ４ × × × × ｗｅｂｓｉｔｅ ５ × × × × ｗｅｂｓｉｔｅ ６ × × × 定义 ２ 定义 １ 在形式背景(Ｇ，Ｍ，Ｉ) 中，对于 任意 Ｘ∈Ｐ(Ｇ) ，定义 Ｘ ∗ ＝ {ｍ ∈ Ｍ ｜ (ｘ，ｍ) ∈ Ｉ，∀ｘ ∈ Ｘ} 相应地，对于任意 Ｂ∈Ｐ(Ｍ) ，定义 Ｂ ∗ ＝ {ｘ ∈ Ｇ ｜ (ｘ，ｍ) ∈ Ｉ，∀ｍ ∈ Ｂ} 其中 Ｐ(Ｇ) 和 Ｐ(Ｍ) 分别是 Ｇ 和 Ｍ 的幂集。 如 果 Ｘ ∗ ＝Ｂ 且 Ｂ ∗ ＝Ｘ，则称(Ｘ，Ｂ) 是一个形式概念，其 中 Ｘ 和 Ｂ 分 别 是 外 延 和 内 涵。 若 将 任 意 概 念 Ｘ１ ，Ｂ１ ( ) 和 Ｘ２ ，Ｂ２ ( ) 之间的序关系“≤”定义为 Ｘ１ ，Ｂ１ ( ) ≤ Ｘ２ ，Ｂ２ ( ) ⇔Ｘ１ ⊆ Ｘ２⇔Ｂ１ ⊇ Ｂ２ 在此意义下，偏序集(Ｂ(Ｇ，Ｍ，Ｉ) ，≤) 本质上是 ·２８８· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷