15.设A是R中的可数集证明E={x-y:x,y∈A}是可数集 16.设A是R中的可数集证明存在x∈R,使得A∩(x+A)=② 提示:令E={x-y:x,y∈A},则R1-E≠② 17.证明[O,1]×[0,1]~[0,1 18.设{An}是环界中的一列集.证明存在中一列互不相交的集{Bn},使得 U4UB,∪4七 19.证明:集类4是一个代数当且仅当4是一个包含全空间X的环 20.若丌为代数并且对不相交可数并运算封闭,则为σ一代数 21.设X是一无限集.证明 (1).令 A={A:A或A是有限集 则4是X上的一个代数,但不是σ-代数 (i).令 丌={A:A或A是至多可数集} 证明J是σ-代数 22.设是X上的a一代数,E∈X.令E={E∩A:A∈男}.证明是E上的 代数 23.设A是X的一个非空真子集证明o(A)={∞,X,A,As} 24.举例说明X上的两个G一代数的并不一定是a一代数 25.设AcX.令C={E: ACECX}.求(C) 26.设C为一半环,(C)是由C生成的环.证明a(C)=a((C) 7.设C是一非空集类.证明对每个A∈σ(C),都存在中一列集{An},使得 A∈o(A,,n≥1) 提示:令={A:存在{An}CC,使得A∈o(An,n≥1)}.证明是包含的C 的-代数 28.设∫:x→Y是X到Y的映射,C是Y上的集类证明 o(-()=f(o(c) 其中f-(C)={f-(E):E∈C 提示令={A:A∈G(),∫(A)∈o(f-(C)}.则是一个-代数 29.设x0∈R”,P0.证明 (i)x的r-邻域U(x0,r)是开集 (i).S(x0,p)={x:d(x,x0)≤r}是闭集35 15. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明 E = {x − y : x, y ∈ A}是可数集. 16. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明存在 x0 ∈ , 1 R 使得 ( ) . A ∩ x0 + A = ∅ 提示: 令 E = {x − y : x, y ∈ A}, 则 . 1 R − E ≠ ∅ 17. 证明[0,1]×[0,1] ~[0,1]. 18. 设 { } An 是环 R 中的一列集. 证明存在 R 中一列互不相交的集 { }, Bn 使得 ∪ ∪ ∪ ∪ ∞ = ∞ = = = = = 1 1 1 1 , . i i i i n i i n i Ai B A B 19. 证明: 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环.. 20. 若F 为代数并且对不相交可数并运算封闭, 则F 为σ − 代数. 21. 设 X 是一无限集. 证明 (i). 令 A { : 或 是有限集}. c = A A A 则 A 是 X 上的一个代数, 但不是σ -代数. (ii).令 F = {A : A 或 c A 是至多可数集} 证明F 是σ − 代数. 22. 设F 是 X 上的σ − 代数, E ⊂ X. 令F = {E ∩ A : A∈F }. E 证明FE 是 E 上的 σ − 代数. 23. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 证明σ (A) { , , , } c = ∅ X A A . 24. 举例说明 X 上的两个σ − 代数的并不一定是σ − 代数. 25. 设 A ⊂ X. 令C = {E : A ⊂ E ⊂ X}. 求σ (C ). 26. 设C 为一半环, R (C ) 是由C 生成的环. 证明σ (C ) = σ (R (C )). 27. 设C 是一非空集类. 证明对每个 A∈ σ (C ), 都存在中一列集{ }, An 使得 A∈ (A ,n ≥ 1). σ n 提示: 令F ={A: 存在{ } ⊂C , An 使得 A∈ (A , n ≥ 1)} σ n . 证明F 是包含的C 的σ − 代数. 28. 设 f : X → Y 是 X 到Y 的映射, C 是Y 上的集类. 证明 ( ( )) ( ( )). 1 1 σ C σ C − − f = f 其中 ( ) { ( ) : }. 1 1 C = ∈C − − f f E E 提示: 令F { : ( ), ( ) ( ( ))}. 1 1 C C − − = A A∈σ f A ∈σ f 则F 是一个σ − 代数. 29. 设 x0 ∈ n R , r>0. 证明 (i). 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是开集. ( ) ii). ( , 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是闭集