Chapter 7 Fourier transforms 其复数形式为 f(x)=∑c;(-l≤x≤l) 2 f(x)edx(n=0,±1+2,…) 注意:这时的 Fourier级数只在区间xl内有意义,例如: 6(x) e(-≤x≤l 这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质( PCs are different with dcs) 正交完备函数集: 在区间b上不恒为零的函数系四(x)(x)g(x)…},若 gn(x)2(x)dx=0(m≠n);又若对于xab]上的任意平方可积函数 ( square integrable function)f(x),完整性方程*均成立,则称{n(x)}为区 间xb上的正交完备归一集 (A set of orthogonal complete normalized function bases) *如果对于xb上的平方可积函数f(x),总有f(x)=∑c9(x),并且 (x)d=∑可92(x(x+∑c门dx=∑kA 成为完整性方程(称巴塞瓦等式),N2=门1(x)d为(x)的积分模方。 注:(1)正交性与区间xab有关。完备性:这些基矢一个不能多、一个不能少 (2)在复数函数集中,积分应理解为qm()(x)x=om, where a set of orthogonal complete normalized function bases are p(x)=P,(x)/NK (3)同一定义域的f(x)可以以(x)表示:f(x)=∑9(x),其值为 (4)对于1D无界空间区域( see below),连续波矢k的本征函数为平面波 q4(x) its orthogonal complete normalized relation 2丌 P,(x)pr (x)dx 6(k-k)=6(p-p)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 3 其复数形式为： ( ) n i x l n n f x c e       l  x  l， 1 ( ) d 2 n l i x l n l c f x e x l      (n  0,1,2, ) . 注意：这时的 Fourier 级数只在区间 x l,l 内有意义，例如： 1 ( ) ( ). 2 n x i l n x e l x l l          这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质(PCs are different with DCs.)。 4. 正交完备函数集： 在区间 xa,b 上不恒为零的函数系 1 (x),2 (x),3 (x), ，若 ( ) ( )d 0 b m n a  x x x   m  n ；又若对于 xa,b 上的任意平方可积函数 (square integrable function) f (x) ，完整性方程* 均成立，则称 n (x) 为区 间 xa,b 上的正交完备归一集 (A set of orthogonal complete normalized function bases). *如果对于 xa,b 上的平方可积函数 f (x)，总有   k k k f (x) c  (x) ，并且 2 2 2 2 2 ( ) d ( ) ( )d | | | ( ) | d b b b s k s k k k k k a a a s k k k f x x c c x x x c x x c N              成为完整性方程（称巴塞瓦等式）, 2 2 | ( ) | d b k k a N x x    为 (x) k 的积分模方。 注: (1)正交性与区间 xa,b 有关。完备性：这些基矢一个不能多、一个不能少。 (2)在复数函数集中，积分应理解为 ( ) ( )d , b m n mn a    x x x   where a set of orthogonal complete normalized function bases are ( ) ( ) / . k k k   x x N  (3) 同 一 定 义 域 的 f x( ) 可 以 以 ( ) k  x 表 示 ：   k k k f (x) c  (x) ， 其值为 k c (representation theory). (4)对于 1D 无界空间区域(see below)，连续波矢 k 的本征函数为平面波 1 ( ) , 2 ikx k  x e   its orthogonal complete normalized relation is ( ') ' 1 1 ( ) ( )d d ( ') ( '). 2 i k k x k k     x x x e x k k p p             