第章群、环和域 证明:因为*在B上是封闭的,所以*是B上的二元运算 <B*是代数系统。∨a,b,c∈B,由于BcS,所以a,b,c∈S,又 由于<*是半群,所以(a*b)C=米(b米C),故<B,*是半群 定义71.2定理71.1中的半群<B*叫做半群<S*的子半 群。 例如,因为g≌R且乘法在有理数集上是封闭的,由定理 7.1.1和定义712,<;>是<R>的子半群,所以<Q;>是半群。 类似的可以证明<N>、<[0,1,>和<(0,1)>是半群。 定理71.2设<S*是半群,S是有限集,则必有a∈S,使 得 C米a=a 证明:∨b∈S,由*在S上的封闭性知: b2=b*b∈S b3=b2*b∈S第7章 群、环和域 证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算。 B,*是代数系统。a,b,cB，由于BS，所以a,b,cS，又 由于S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B, *是半群。 定义7.1.2 定理7.1.1中的半群B, *叫做半群S, *的子半 群。 例如，因为QR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理 7.1.1和定义7.1.2，Q,·是R,·的子半群，所以Q,·是半群。 类似的可以证明N,·、[0,1],·和(0,1),·是半群。 定理7.1.2 设S, *是半群，S是有限集，则必有aS，使 得a*a=a 证明：bS，由*在S上的封闭性知： b 2=b*bS b 3=b 2*bS …