定理15.1.3(积分号下求导定理)设f(x,y),f,(x,y)都在闭矩形 a,b]×{e,d上连续,则1(y)在[c4]上可导,并且在[c,团上成立 d/(y) d 证对任意y∈[d,当y+Δy∈[c,d时,利用微分中值定理 4+4)40=(xy+=(xy+y(00) y 由定理151.1,即有 d/(y) (y+△y)-/(y) =im Ay→+0 lim. /,(,y+0Ay)dr J lim (x,y+ 4y)dx=/,(x,y)dx 这个定理的结论也可写为 d f(x, y)dx 这说明求导运算与积分号可以交换。这个定理的结论也可写为 d ( , )d ( , )d d b b a a f x y x f x y x y y ∂ = ∂ ∫ ∫ 。 这说明求导运算与积分号可以交换。 定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设 yxfyxf ),(),,( y 都在闭矩 形 × dcba ],[],[ 上连续，则 yI )( 在 dc ],[ 上可导，并且在 dc ],[ 上成立 d( ) ( , )d d b y a I y f xy x y = ∫ 。 证 对任意 ∈ dcy ],[ ，当 + Δ ∈ dcyy ],[ 时，利用微分中值定理， ( ) () (, ) (, ) d ( , )d b b y a a Iy y Iy f xy y f xy x f xy y x y y θ + Δ − +Δ − = = + Δ Δ Δ ∫ ∫ ( < θ < 10 ) 。 由定理 15.1.1，即有 0 0 0 d( ) ( ) ( ) lim lim ( , )d d lim ( , )d ( , )d . b y y y a b b y y a a y Iy Iy y Iy f xy y x y y f xy y x f xy x θ θ Δ → Δ → Δ → + Δ − = =+ Δ Δ = + Δ = ∫ ∫ ∫