线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来,随着基的改变, 同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换,有必要弄清楚 线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的 定理4设线性空间V中线性变换团在两组基 (6) n1,n2…,n 下的矩阵分别为A和B从基(6)到(7)的过渡矩阵是X,于是B=X-1AX 定理4告诉我们,同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系 定义3设A,B为数域P上两个n级方阵,如果可以找到数域P上的n级可 逆方阵X,使得B=X-AX,就说A相似于B,记作A~B 相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面三个性质 1.反身性:A~A 2.对称性:如果A~B,那么B~A 3.传递性:如果A~B,B~C,那么A~C 定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩 阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵 矩阵的相似对于运算有下面的性质 如果B1=XA1X,B2=X-1A2X,那么 B+B2=X-(41+A2)X B,B2=X(AA)X 由此可知,如果B=X-AX,且f(x)是数域P上一多项式,那么 f(B)=X f(a)X 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例2设是数域P上一个二维线性空间,E1,E2是一组基,线性变换在 E1,E2下的矩阵是线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变， 同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚 线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的. 定理 4 设线性空间 V 中线性变换 A 在两组基 n  , , , 1 2  , (6)   n , , , 1 2  (7) 下的矩阵分别为 A 和 B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是 X ，于是 B X AX −1 = . 定理 4 告诉我们，同一个线性变换 A 在不同基下的矩阵之间的关系. 定义 3 设 A ，B 为数域 P 上两个 n 级方阵，如果可以找到数域 P 上的 n 级可 逆方阵 X ，使得 B X AX −1 = ，就说 A 相似于 B ，记作 A ~ B . 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质： 1. 反身性： A ~ A 2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A . 3. 传递性：如果 A ~ B , B ~ C,那么 A ~ C. 定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩 阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 矩阵的相似对于运算有下面的性质. 如果 B X A1X 1 1 − = , B X A2X 1 2 − = ，那么 B B X (A1 A2 )X 1 1 + 2 = + − , B B X (A1A2 )X 1 1 2 − = 由此可知，如果 B X AX −1 = ，且 f (x) 是数域 P 上一多项式，那么 f (B) X f (A)X −1 = 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例 2 设 V 是数域 P 上一个二维线性空间， 1 2  , 是一组基，线性变换 A 在 1 2  , 下的矩阵是