证:因(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A+AB+BA+B=A+B,得 AB+BA=0 对式(1)两端右乘矩阵B,得 AB2+BAB=0→AB=-BAB 同样式(1)两端左乘矩阵B,得 BAB+B2A=0→BA=-BAB 因此,AB=BA=0 (5)设A实对称矩阵,即A=A,且A2=0,证明:A=0. 证:设A为n阶实对称方阵,考察A2=A7A的对角元a2 aiai a2=0.i=1.2 0,(i=1,2,…,j=1,2,…,n) 因此,A=0 (6)设矩阵A=[ aidl,若对任意n×1向量x,均有Ax=0,试证:A=0 证:依次取ⅹ=e1,e2,.,em,因Ax=0,所以 Aer 0,(i=1,2 an2 0→ 因此A=0 矩阵A=3I-aaT (a)求矩阵A; (b)A是否可逆?若可逆,求A证: 因 (A + B) 2 = A2 + AB + BA + B2 = A + AB + BA + B = A + B, 得 AB + BA = 0 (1) 对式(1)两端右乘矩阵 B, 得 AB2 + BAB = 0 ⇒ AB = −BAB 同样式(1)两端左乘矩阵 B, 得 BAB + B 2A = 0 ⇒ BA = −BAB 因此, AB = BA = 0. (5) 设A 实对称矩阵, 即 AT = A, 且A2 = 0, 证明: A = 0. 证: 设 A 为 n 阶实对称方阵, 考察 A2 = AT A 的对角元 a (2) ii , a (2) ii = Xn j=1 aijaij = Xn j=1 a 2 ij = 0, i = 1, 2, . . . , n ⇒ aij = 0, (i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , n) 因此, A = 0. (6) 设矩阵 A = [aij ]m×n , 若对任意 n × 1向量x, 均有 Ax = 0, 试证: A = 0. 证: 依次取 x = e1, e2, . . . , en, 因 Ax = 0, 所以 Ae1 =       a11 a21 . . . am1       = 0 ⇒ ai1 = 0, (i = 1, 2, . . . , m) Ae2 =       a12 a22 . . . am2       = 0 ⇒ ai2 = 0, (i = 1, 2, . . . , m) . . . Aen =       a1n a2n . . . amn       = 0 ⇒ ain = 0, (i = 1, 2, . . . , m) 因此 A = 0. (7) 设 a = h −1 0 1 iT , 矩阵 A = 3I − aaT . (a) 求矩阵A; (b) A 是否可逆? 若可逆, 求A−1