性常徵分方程的幂级数解法 第九讲二阶线性常微分方程的幂级数解法(二) §9.1方程正则奇点邻域内的解 讨论极点性的奇点 方程的奇点可能同时也是解的奇点.不但可能是解的极点或本性奇点,还可能是解的枝点 作为在方程正则奇点邻域内求解的依据,再次不加证明地介绍另一个定理 定理9.1如果20是方程 d w d2+p(2)+q(2)=0 的奇点,则在p(2)和q(x)都解析的环形区域0<|z-20<R内,方程的两个线性无关解是 u1(2)=(z-20) k=-∞ P2 其中p1,P2和g都是常数 如果p1或P是整数,且g=0,则20点为方程的解的极点或本性奇点 ★如果p1或P2不是整数,或g≠0,则方程的解为多值函数,20点为其枝点 现在如果我们把上面的解弌代入方程,尽管仍然能得到糸数之问的递推关糸,但却无 法求出糸数的普遍表达式·因为这时的级数解中,一般说来,都有无穷多个正幂项和负 幂项,反复利用递推关亲将会永无休止 如果级数解中只有有限个负幂项,这时总可以调整相应的ρ值,使得级数解中没有负幂项, n(2)=(x-20)∑c(2-20) u2(2)=gu1(2)ln(x-20)+(2-20)∑dk(2-20 于是,反复利用递推关系就可以求得系数的普遍表达式,当然,还必须要定出p值 这种形式的解称为正则解,当g≠0时,U2(z)的形式和u1(z)不同(含有对数项) 因而需分别求解.当g=0时,υ2(以)的表达式中不含对数项,两个解的形式相同 方程奇点邻域内两个线性无关解都是正则解的充分必要条件,见下面的定理(不证)Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 1 ✓ ✔✕✖ ✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪ (✗ ) §9.1 ✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵ ✶✷✸✹✺✻✼✽✺✾ ✿❀✼✽✺❁❂❃❄❅❆❇✼✽✺✾❈❉❁❂❆❇✼✹✺❊❋✻✽✺●❍❁❂❆❇✼■✺✾ ❏❑▲✿❀▼◆✽✺❖P ◗❘❇✼❙❚●❯❱❈❲❳ ❨❩❬❭❪❫❴❵❛❜ ❝❞ 9.1 ❡❢ z0 ❆✿❀ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0 ✼✽✺●◆▲ p(z) ❣ q(z) ❤ ❇✐✼❥❦❧P 0 < |z − z0| < R ◗●✿❀✼♠❴♥✻♦♣❇❆ w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=−∞ ck(z − z0) k , w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=−∞ dk(z − z0) k , q r ρ1, ρ2 ❣ g ❤ ❆st✾ F ❡❢ ρ1 ❊ ρ2 ❆✉t●✈ g = 0 ●◆ z0 ✺❑✿❀✼❇✼✹✺❊❋✻✽✺✾ F ❡❢ ρ1 ❊ ρ2 ❈❆✉t●❊ g 6= 0 ●◆✿❀✼❇❑✇①②t● z0 ✺❑q■✺✾ ③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ❶❷❸❹❺❻❼❽●❾ ❿➀➁➂➃➄ ➅➆➇ ➈❷➉➊ ➋➅●➌➍➎ ➏➐ ➑➅➆❷➒➓➔→❹✾➣↔↕➙❷➛➆❸ ➜●➝➞➟➠●➡➢➎➤ ➥➦➧➨➩➫ ➭ ➨➩●➯➲➳➵➉➊ ➋➅➸➺➻➎➼➽✾ ❡❢➾t❇ r✶➚➚➪❴➶➹➘●➴❄➷❁➬➮✉➱✃✼ ρ ①●❐❒➾ t❇ r❮➚➶➹➘● w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=0 ck(z − z0) k , w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=0 dk(z − z0) k . ❰❆●ÏÐÑÒÓÔ♣ÕÖ❁➬❘❒Õt✼×ØÙÚÛ✾ÜÝ●❍Þßà❵á ρ ①✾ ↕âã❹❷❸ä↔ ✭✮✵ ✾å g 6= 0 ➙● w2(z) ❷ã❹➫ w1(z) æ ç (è ➢é➆➩) ● ➣êëìí➐❸✾å g = 0 ➙● w2(z) ❷➔→❹ ➜æèé➆➩●î➦❸❷ã❹ï ç ✾ ✿❀✽✺❖P ◗♠❴♥✻♦♣❇❤ ❆▼◆❇✼ðñÞàòó●ôõö✼❵❛ (❈❳) ❜