程正则奇点邻域内的 定理9.2方程 d 2w a2+p(2)+(2)=0 在它的奇点2的邻域0<|2-20<R有两个正则解 u(2)=(2-20)∑ck(2-20) ≠0 (9.1) 2(2)=g1(2)l(2-2)+(2-20)2∑4(2-20),g或山≠0 (9.2) 的充要条件是20点是 p(2)的不超过一阶的极点,即(2-20)p(2)在20点解析 q(x)的不超过二阶的极点,即(2-20)2q(2)在20点解析 即30为方程的正则奇点 p1和P称为正则解的指标 例91显然 都是超几何方 2(1-3)a2+b-(1+a+a-a30=0 的正则奇点;x=±1也都是 Legendre方程 dy +l(+1)=0 的正则奇点 为了判断无穷远点是否为正则奇点,同样要作变换2=1/t,如果t=0是变换后的方程的正 则奇点,即t=0点是变换后的方程的奇点,且 在t=0点解析,亦即z=∞点是变换前方程的奇点,且2p(2)和2q(2)在z=∞0点解析,则称 z=∞点是变换前的方程的正则奇点.所以,无穷远点z=∞也都是超几何方程和 Legendre方程 的正则奇点Wu Chong-shi §9.1 ✡☛÷øùúûü ý☞✏ ✒ 2 ✓ ❝❞ 9.2 ✿❀ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, ▲þ✼✽✺ z0 ✼❖P 0 < |z − z0| < R ➚♠❴▼◆❇ w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=0 ck(z − z0) k , c0 6= 0, (9.1) w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=0 dk(z − z0) k , g ❊ d0 6= 0 (9.2) ✼ðàòó❆ z0 ✺❆ p(z)✼❈ÿ￾❫✁✼✹✺● ✂ (z − z0)p(z)▲ z0 ✺❇✐✄ q(z)✼❈ÿ￾☎✁✼✹✺● ✂ (z − z0) 2 q(z)▲ z0 ✺❇✐✾ ✂ z0 ❑✿❀✼▼◆✽✺✾ ρ1 ❣ ρ2 ✆ ❑▼◆❇✼ ✝✞ ✾ ✟ 9.1 ✠ Ý● z = 0 ❣ z = 1 ❤ ❆ÿ✡☛✿❀ z(1 − z) d 2w dz 2 + [γ − (1 + α + β)z] dw dz − αβw = 0 ✼▼◆✽✺✄ x = ±1 ❅ ❤ ❆ Legendre ✿❀ ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ✼▼◆✽✺✾ ❑☞✌✍♦✎✏✺❆✑❑▼◆✽✺●❃✒à❏✓✔ z = 1/t ● ❡❢ t = 0 ❆✓✔✕✼✿❀✼▼ ◆✽✺●✂ t = 0 ✺❆✓✔✕✼✿❀✼✽✺●✈ t  2 t − 1 t 2 p  1 t  = 2 − 1 t p  1 t  ❣ t 2 · 1 t 4 q  1 t  = 1 t 2 q  1 t  ▲ t = 0 ✺❇✐●✖✂ z = ∞ ✺❆✓✔✗✿❀✼✽✺●✈ zp(z) ❣ z 2 q(z) ▲ z = ∞ ✺❇✐●◆ ✆ z = ∞ ✺❆✓✔✗✼✿❀✼▼◆✽✺✾✘➬●♦✎✏✺ z = ∞ ❅ ❤ ❆ÿ✡☛✿❀❣ Legendre ✿❀ ✼▼◆✽✺✾