《数学分析(1,2,3)》教案 sin(n +-)u p(u)du <8, 其中p(an)=f(x+u)+f(x-l)-26 3. Fourier级数收敛的Dini判别法 推论:设f(x)在[0,2z]上除去有限点外存在有界导数则f(x)的 Fourier级数点点收敛,且 a+∑(anc0smx+b5m=2((x+)+f(x),x∈(0.2z) (f(+0)+f(2x-),x=0或2丌 特别地,x∈(0.2)是f(x)的连续点时,((x+)+f(x-)=f(x),即 f(x)=0+>(a, cos nx+b, sin nx) 1,0≤x≤丌 例:设f(x)是以2为周期的函数,其在z刀]上可表示为f(x)=10.-<x<0 ,判定f(x)的 Fourier级 数的收敛性 例:设f(x)是以2x为周期的函数,其在[0,2n)上等于x,判定f(x)的 Fourier级数的收敛性 例:f(x)=e",(-r≤x<)(a≠0) 4. Jordan判别法 设f(x)在[0,2x]上单调(或有界变差),则 (f(x+)+f(x-),x∈(0,2) +∑( a cos x+ b sin nx)= (f(+0)+f(2x-),x=0或 1,0≤x≤丌 例:设f(x)是以2x为周期的函数,其在[-x,丌]上可表示为f(x)= 求∫(x)的 Fourier 0,-x<x<0 展开式 计算f(x)的 Fourier系数的积分也可以沿别的长度为2x的区间来积如 f∫(x)dx f(x)cos ndx n=1.2 b f(x)sin ndx, n=1, 2 例:设f(x)是以2z为周期的函数其在[0,2x)上等于x,求f(x)的 Fourier级数 12-2《数学分析（1，2，3）》教案 12-2 0 1 sin( ) 2 ( ) , n u u du u    +   其中   ( ) ( ) ( ) 2 u f x u f x u = + + − − . 3. Fourier 级数收敛的 Dini 判别法 推论: 设 f x( ) 在 [0, 2 ]  上除去有限点外存在有界导数,则 f x( ) 的 Fourier 级数点点收敛,且 0 0 1 ( ( ) ( )), (0,2 ) 2 ( cos sin ) 2 1 ( ( 0) (2 )), 0 2 2 n n n f x f x x a a nx b nx f f x     =  + + −   + + =   + + − =   或 特别地, x  (0,2 )  是 f x( ) 的连续点时, 1 ( ( ) ( )) ( ) 2 f x f x f x + + − = ,即 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = = + +  例: 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数，其在 [ , ] −  上可表示为 1,0 ( ) 0, 0 x f x x      =   −   ,判定 f x( ) 的 Fourier 级 数的收敛性. 例：设 f x( ) 是以 2 为周期的函数,其在 [0, 2 )  上等于 x ,判定 f x( ) 的 Fourier 级数的收敛性 例： ( ) , ax f x e = ( ) −     x ( 0) a  4. Jordan 判别法 设 f x( ) 在 [0, 2 ]  上单调(或有界变差)，则 0 0 1 ( ( ) ( )), (0,2 ) 2 ( cos sin ) 2 1 ( ( 0) (2 )), 0 2 2 n n n f x f x x a a nx b nx f f x     =  + + −   + + =   + + − =   或 。 例：设 f x( ) 是以 2 为周期的函数，其在 [ , ] −  上可表示为 1,0 ( ) 0, 0 x f x x      =   −   ,求 f x( ) 的 Fourier 展开式。 计算 f x( ) 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为 2 的区间来积.如 2 0 0 1 a f x dx ( )   =  ， 2 0 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n   = =  ， 2 0 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n   = =  例： 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数,其在 [0, 2 )  上等于 x ,求 f x( ) 的 Fourier 级数