《数学分析(1,2,3)》教案 第十二章富里埃级数 §1富里埃级数 富里埃( Fourier)级数的引进 定义:设∫(x)是(-∞,+∞)上以2x为周期的函数,且f(x)在[-x,x]上绝对可积,称形如 +∑( a cos nx+ b sin nx) 的函数项级数为f(x)的 Fourier级数(f(x)的 Fourier展开式),其中 42=(,4=(n=12,b=厂 f(r)sin ndx, n 称为f(x)的 Fourier系数,记为f(x)~0+∑( a cos nx+ b sin nx) 说明 1)在未讨论收敛性,证明5+∑( a,cosnx+ b. sin nx)-致收敛到f(x)之前,不能将“”改为“= 此处“~”也不包含“等价”之意,而仅仅表示①+∑( a cos nx+ b sin nx)是f(x)的 Fourie级数,或者 说f(x)的 Fourier级数是“+∑( (an, cos nx+b2sinx).2)要求r]上f(x)的Foic级数,只须求 出 Fourier系数 二富里埃级数收敛性的判别 1. Riemann(黎曼)引理设f(x)在(有界或无界)区间[a]上绝对可积,则 f(x) cos pxdx→>0 f(x) sin pxdx→0(p→∞) 推论在[0,门]上绝对可积函数∫(x)的 Fourier系数 (x)cos 2 nt xdx→0.(n→∞) :b=(x)sm7x→0(m→) 2. Fourier级数收敛的充要条件 定理1 limt(x)=s分VE>0,36=6(E)∈(0,x]和N=N(E),使得当n≥N(E)时成立 12-1《数学分析（1，2，3）》教案 12-1 第十二章 富里埃级数 §1 富里埃级数 一 富里埃（Fourier）级数的引进 1 定义：设 f x( ) 是 ( , ) − + 上以 2 为周期的函数，且 f x( ) 在 [ , ] −  上绝对可积，称形如 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  的函数项级数为 f x( ) 的 Fourier 级数( f x( ) 的 Fourier 展开式)，其中 0 1 a f x dx ( )   − =  ， 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n   − = =  ， 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n   − = =  称为 f x( ) 的 Fourier 系数，记为 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = + +  2 说明 1）在未讨论收敛性，证明 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  一致收敛到 f x( ) 之前，不能将“~”改为“=”； 此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  是 f x( ) 的 Fourier 级数，或者 说 f x( ) 的 Fourier 级数是 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  。2) 要求 [ , ] −  上 f x( ) 的 Fourier 级数，只须求 出 Fourier 系数。 二 富里埃级数收敛性的判别 1. Riemann（黎曼）引理 设 f x( ) 在（有界或无界）区间 a b,  上绝对可积，则 ( )cos 0 b a f x pxdx → ， ( )sin 0 b a f x pxdx → ( ) p →  . 推论 在 [0, ] T 上绝对可积函数 f x( ) 的 Fourier 系数 0 2 2 ( )cos 0,( ) T n n a f x xdx n T T  = → →   ； 0 2 2 ( )sin 0,( ) T n n b f x xdx n T T  = → →   2. Fourier 级数收敛的充要条件 定理 1 lim ( ) 0, ( ) (0, ] n n T x s      → =     =  和 N N = ( )  , 使得当 n N  ( )  时成立