*§4.3 Schrodinger图画和 Heisenberg图画 1.H与时间无关时 Schrodinger方程初值问题的解 Schrodinger方程是(为说明问题清楚起见,我们把时间变量明确写出来了) aH()=度(t) 通常还要求(r)满足初始条件 =0 假如与时间无关,那么这个问题的解是 H(t)=elmo=U(2O)平0, (直接代入就不难证明这一点),其中 称为时间演化算符。容易证明U(t,0)是幺正算符,即 U(t,0)U(t,0)=U(,0)U+(,0)=1 所以它保证了几率守恒。这里我们不妨注意这样一点:在量子力学里系统的状态随时间的演化是一系列 的幺正变换,而在经典力学里系统的状态随时间的演化是一系列的正则变换。所以,量子力学的幺正变 换与经典力学的正则变换是相当的 此外,算符F的平均值是 (平(F平() 这里我们假设F是不显含时间的,但F却可能与时间有关,因为(m)在随时间演化 2. Schrodinger图画 事实上,在量子力学里,波函数和算符并不是物理上可以直接观察的对象。量子力学里可以观察的 其实是内积(H,Φ)(如果它是复数,就观察它的模和幅角)。在这个意义上,只要内积不变,我们用 什么波函数和算符来计算它,实际上是有选择的余地的。 如前所述,到目前为止,我们一直采用这样的形式来表达量子力学:波函数与时间有关并且服从 Schrodinger方程,而算符与时间无关。用式子写出来就是 ap(o) H p aF 0 这种形式称为 Schrodinger图画( picture)。为明确起见,我们在和F的右上角都加注一个(S)来表示 它们是在 Schrodinger图画中: ih aS()=y°(t) at 0 但是对于算符H我们没有加注(S),其原因下面就会见到。 3. Heisenberg图画 现在我们对平(S)和F(S进行如下的变换 H)-eiHt/h u(S) FO Hi tn eHIIn FO S)-iHt/ 我们知道,这是一个幺正变换。平(H和F(H分别称为 Heisenberg图画中的波函数和算符。从第二个变 换式我们可以看出(=(S),所以这两个图画中的 Hamiltonian是完全一样的1 *§4.3 Schrödinger 图画和 Heisenberg 图画 1． H ˆ 与时间无关时 Schrödinger 方程初值问题的解 Schrödinger 方程是（为说明问题清楚起见，我们把时间变量明确写出来了） ( ) ˆ i ( ), t H t t   =   通常还要求 ( )t 满足初始条件 0 0 ( ) . t t =  =  假如 H ˆ 与时间无关，那么这个问题的解是 ˆ i / 0 0 ( ) e ( , 0) , H t t U t −  =    （直接代入就不难证明这一点），其中 ˆ i / ( , 0) e H t U t − = 称为时间演化算符。容易证明 U t( , 0) 是幺正算符，即 ˆ U t U t U t U t I ( , 0) ( , 0) ( , 0) ( , 0) . + + = = 所以它保证了几率守恒。这里我们不妨注意这样一点：在量子力学里系统的状态随时间的演化是一系列 的幺正变换，而在经典力学里系统的状态随时间的演化是一系列的正则变换。所以，量子力学的幺正变 换与经典力学的正则变换是相当的。 此外，算符 F ˆ 的平均值是 ( ) ˆ F t F t =   ( ), ( ) . 这里我们假设 F ˆ 是不显含时间的，但 F 却可能与时间有关，因为 ( )t 在随时间演化。 2. Schrödinger 图画 事实上，在量子力学里，波函数和算符并不是物理上可以直接观察的对象。量子力学里可以观察的 量其实是内积 ( , )   （如果它是复数，就观察它的模和幅角）。在这个意义上，只要内积不变，我们用 什么波函数和算符来计算它，实际上是有选择的余地的。 如前所述，到目前为止，我们一直采用这样的形式来表达量子力学：波函数与时间有关并且服从 Schrödinger 方程，而算符与时间无关。用式子写出来就是 ( ) ˆ i ( ), ˆ 0. t H t t F t     =      =   这种形式称为 Schrödinger 图画（picture）。为明确起见，我们在  和 F ˆ 的右上角都加注一个 (S) 来表示 它们是在 Schrödinger 图画中： (S) (S) (S) ( ) ˆ i ( ), ˆ 0. t H t t F t     =      =   但是对于算符 H ˆ 我们没有加注 (S) ，其原因下面就会见到。 3. Heisenberg 图画 现在我们对 (S)  和 (S) F ˆ 进行如下的变换 ˆ (H) i / (S) ˆ ˆ (H) i / (S) i / e ( ), ˆ ˆ e e . H t H t H t t F F −   =    = 我们知道，这是一个幺正变换。 (H)  和 (H) F ˆ 分别称为 Heisenberg 图画中的波函数和算符。从第二个变 换式我们可以看出 (H) (S) H H ˆ = ˆ ，所以这两个图画中的 Hamiltonian 是完全一样的