对二次型 fx,x,,x)=2ax+2∑a,x) i=l Isi<jsn 从左边先找出一个系数不为零的平方项x,把所有包含x。的项集中在一起，配成完全平方 的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项x,同样把所有包含x的项集中到一起，配 成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。 注若二次型，但以，≠0(i≠)，则可先做满秩变换 x=》+y xi=yi-yj xk=x(k≠i,j,k=1,2,…,n) 化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。 (2)正交变换法 对二次型∫=x「Ax,由于A是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交 阵Q,使 Q'AQ=Λ=diag（元1，元2，…，入n) 所以由正交变换=Qy,可得 f=xAx=yAy=y+2y3+…+元ny 注用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A的特征值，但若用其他满秩变换化 为标准型，则平方项前系数A的特征值无关。 5.1.12正定二次形和正定矩阵的概念 对于任意n维非零向量x,若恒有f=xTAx>0,则称f为正定二次型，f的矩阵A称 为正定矩阵，记作A>0。 注1正定矩阵必是对称阵 注2若对任意X∈R",有∫=xAx≥0，且存在x。≠0，使∫=x。Ax=0,则称f 或A为半正定，记作A≥0，类似地可以定义f或A为负定或半负定。 5.3.13正定矩阵的判别方法 设A为n阶实对称阵。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn对二次型 i j i j n i ij n i n ii f x x x å x å x x = £ < £ = + 1 2 1 ( 1 , 2 ,L, ) a 2 a 从左边先找出一个系数不为零的平方项 2 q x ，把所有包含 q x 的项集中在一起，配成完全平方 的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项 2 k x ，同样把所有包含 k x 的项集中到一起，配 成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。 注 若二次型，但 0(i j) aij ¹ ¹ ，则可先做满秩变换 x x (k i, j, k 1,2, , n) x y y x y y k k j i j i i j = ¹ = L = - = + 化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。 (2) 正交变换法 对二次型 x Ax T f = ，由于 A 是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交 阵 Q，使 Q AQ = L T =diag（ , , , ) l1 l2 L ln 所以由正交变换 x=Qy，可得 2 2 2 2 2 1 n n f = = L = l y + l y +L+ l y 1 T T x Ax y y 注 用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为 A 的特征值，但若用其他满秩变换化 为标准型，则平方项前系数 A 的特征值无关。 5.1.12 正定二次形和正定矩阵的概念 对于任意 n 维非零向量 x，若恒有 x Ax 0 T f = > ，则称 f 为正定二次型，f 的矩阵 A 称 为正定矩阵，记作 A>0。 注 1 正定矩阵必是对称阵 注 2 若对任意 n xÎ R ，有 x Ax 0 T f = ³ ，且存在x 0 0 ¹ ，使 0 = x0 Ax = T f ，则称 f 或 A 为半正定，记作 A³ 0，类似地可以定义 f 或 A 为负定或半负定。 5.3.13 正定矩阵的判别方法 设 A 为 n 阶实对称阵。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn