5.1.10与二次型的标准型有关的概念 (1)满秩线形变换 设x=x,x2,…,xn],y=y,2,…,ynJ,P=(P)m可逆，则称=乃为由 X1,x2,…,Xn到y1,y2,…,yn的满秩线形变换。 注若P为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2)合同矩阵 设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C,使 CTAC=B 则A合同与B,C为合同变换阵。 注1若C为正交阵，满足CTAC=B,A与B既合同，又相似。 注2合同矩阵秩相等。 注3合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3)对任一个二次型∫=x'Ax,总可以通过满秩线形变换x=Py化为 f=y'PAy=d y2+d2y+.+d,y? 成为∫的标准型。其中r=),即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注1f的标准型矩阵D=PTAP与f的矩阵A合同。 注2将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。 注3当d=…=dp=1,d1=…=d,=-1时的标准型成为∫的规范型。其形式为 +y经+…+y后一y1-一y,二次型的规范形是唯一的。 (4)惯性律 对一个二次型∫=x「Ax,无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方 项前正系数个数p和负系数个数p都是唯一确定的，称p为二次型的正惯性指数，”p为 负惯性指数（其中r为A的秩），而p-(rp)称为符号差。 注两个个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 5.1.11化二次型为标准型的方法 ()配方法 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn5.1.10 与二次型的标准型有关的概念 (1) 满秩线形变换 设 [ ] [ ] ij n n T n T = x x xn = y y y = p ´ , , , , , , , , ( ) x 1 2 L y 1 2 L P 可 逆 ， 则 称 x=Py 为 由 n x , x , , x 1 2 L 到 n y , y , , y 1 2 L 的满秩线形变换。 注 若 P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2) 合同矩阵 设 A，B 为 n 阶方阵，若存在 n 阶可逆阵 C，使 C AC B T = 则 A 合同与 B，C 为合同变换阵。 注 1 若 C 为正交阵，满足C AC B T = ，A 与 B 既合同，又相似。 注 2 合同矩阵秩相等。 注 3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3) 对任一个二次型 x Ax T f = ，总可以通过满秩线形变换 x=Py 化为 2 2 2 2 2 1 1 r r f = y P Ay = d y + d y +L+ d y T T 成为 f 的标准型。其中 r=r(A)，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注 1 f 的标准型矩阵 D= P AP T 与 f 的矩阵 A 合同。 注 2 将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。 注 3 当d1 = L = d p = 1, d p+1 = L = dr = -1时的标准型成为 f 的规范型。其形式为 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r y + y + + y - y - - y L + L ，二次型的规范形是唯一的。 (4) 惯性律 对一个二次型 x Ax T f = ，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方 项前正系数个数 p 和负系数个数 r-p 都是唯一确定的，称 p 为二次型的正惯性指数，r-p 为 负惯性指数（其中 r 为 A 的秩），而 p-（r-p）称为符号差。 注 两个 n 个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 5.1.11 化二次型为标准型的方法 (1) 配方法 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn