(2)A的不同特征值对应的特征向量正交： (3)A可正交对角化，既存在正交阵Q使Q-AQ=Q'AQ=A。其中 Λ=dig(入1，入2…，n)，入1，入2，…，入n是A的特征值。 注正交阵Q的求法： 对A的k(k⊙1)重特征根入，将求出的(A-入I)x=0的基础解系正交化，这样合并后 得到的n个特征向量1，a2,…,a.不仅仅线形无关，而且相互正交，再将每一个，单位化，则 可得到标准正交特征向量组1,2，…，1n,令-71，门2…，门n],则Q为正交矩阵，且满足 QTAQ=Λ。 5.1.9二次型及其矩阵形式 (1)定义n变量的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn）=C1x+2a12x1x2+2013x1x3+…+2a1nx1xn +z+2zX2++2a2nx2 十… +Cmxz =2ax,x,(其中a,=a,a,∈R. i=l j=l 称为n个变量x,x2,…,xn的二次型。 注若a,=0(i≠j,i,j=1,2,…,n)则称∫为标准型。 (2)矩阵形式 f(x)=xAx 其中X=[x,x2,…,xn广，A=(C)nn,这里a)=C元，即A为实对称矩阵。 注1实对阵矩阵A成为二次型∫的矩阵，而A的秩称为该二次型的秩。 注2二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实 对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注3标准型的矩阵是对角阵。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www,fineprint.cn(2) A 的不同特征值对应的特征向量正交； (3) A 可正交 对 角 化 ， 既 存 在 正 交 阵 Q 使 = = L - Q Q Q AQ 1 T A 。其中 L = diag ( , , ) l1 l2 L ln ，l l ln , , , 1 2 L 是 A 的特征值。 注 正交阵 Q 的求法： 对 A 的 k（k>1）重特征根l ，将求出的(A - lI)x = 0 的基础解系正交化,这样合并后 得到的 n 个特征向量a1 a2 an , ,L, 不仅仅线形无关,而且相互正交,再将每一个ai 单位化,则 可得到标准正交特征向量组h h hn , ,L, 1 2 ,令 Q= [ ] h h hn , L, 1 2 ,则 Q 为正交矩阵,且满足 Q Q = L T A 。 5.1.9 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数 n n n f x x x x x x x x x x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 1 2 11 1 ( , ,L, ) = a + 2a + 2a +L+ 2a 2 22 2 +a x n n x x x x 23 2 3 2 2 + 2a +L+ 2a +L 2 nn n +a x i j n i n j ij åå x x = = = 1 1 a (其中aij = a jiaij ÎR)， 称为 n 个变量 n x , x , , x 1 2 L 的二次型。 注 若aij = 0 （i ¹ j,i, j = 1,2,L, n ）则称 f 为标准型。 (2) 矩阵形式 x x Ax T f ( ) = 其中 [ ] ij n n T = x x xn A = ´ , , , , ( ) x 1 2 L a ，这里aij = a ji ，即 A 为实对称矩阵。 注 1 实对阵矩阵 A 成为二次型 f 的矩阵，而 A 的秩称为该二次型的秩。 注 2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实 对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注 3 标准型的矩阵是对角阵。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn