Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Chapter13柱坐标下的分离变量法 Bessel函数 Abstracts 以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 ( Bessel函数、 Normann函数、 Hankel函数、虚宗量 Bessel函数、 Macdonald函数和三类球 Bessel函数等12个 Bessel函数)。在分析 这些函数性质的基础上,表述相应定解问题的物理解。 、柱坐标下的变量分离 1.柱坐标系下的稳定问题(3+0D, Laplace方程) 1 a Ou 1 au au 即: 0 (2) 只要实空间可分离变量,就可令(p,g,z)=R(p)D(q)Z(),将其代入方程(2)得 cz (pR)+当Φ"+Rz"=0 (3) ×(3)得 P(.p RΦZ R 由这种分离变量得: "+Ad=0. P(pR) 方程(5)与周期性边界条件 dp(0)=d(2x)d(0)=d(2丌) 构成本征值问题。解得:n=m2(m=0,1,2,3…),Φn(q)={ coS mpp, Sin mgp 方程(6)即为 P(pR)p2z”2分离变量(pR)m2z PR p Z B2R"+pR'+(up2-m)R 这两个方程,先求解哪一个以及μ如何取值,取决于哪一个可构成本征值问题, 也就是取决于定解问题的边界条件。假设(如果)R()构成本征值问题,则 PR+pR+(up2-m)RMethods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts 以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量 Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球 Bessel 函数等 12 个 Bessel 函数）。在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace 方程） 2 2 2 2 2 2 1 1 0, u u u u z              = + + =         （1） 即： ( ) 2 2 1 1 0. zz u u u u        = + + = （2） 只要实空间可分离变量，就可令 u z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )     =  ，将其代入方程（2）得： ( ) 2 0. Z RZ R R Z        +  +  = （3） 2 (3) R Z    得： ( ) 2 ' . R Z R Z         + = − =  （4） 由这种分离变量得： ( ) 2 0. (5) ' . (6) R Z R Z       +  =       + =  方程（5）与周期性边界条件  =   =  (0) (2 ), (0) (2 )     构成本征值问题。解得： 2 ( 0,1,2,3, ), m = = m m ( ) {cos ,sin }.  = m    m m 方程（6）即为 ( ) 2 2 R ' Z m R Z      + =  分离变量 ( ) 2 2 ' . R m Z R Z       − = − = − 得： ( ) 2 2 2 0. 0. Z Z R R m R       − =     + + − =  这两个方程，先求解哪一个以及  如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题， 也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果） R( )  构成本征值问题，则 ( ) 2 2 2    R R m R   + + − = 0