记明 收敛性与连续故 收敛性与连续性 引理 设(V,p)是一个半范空间，M是V的一个子空间.则M是V的 一个子空间 证明.设1,2∈M.则存在M中的序列{M,k}21, {2,k}21,使得在(V,p)下，Mk→，.k→2.但 p(M+2)-(M,k+2.k)≤p(h-1.k)+p(2-2,k)→0， 说明 (M,k+2,k)→h+2asn→ 因为对k∈NM,k十2，k∈M,则M+2∈M.类似地，对a∈K 有p(aM-a,k)=lalp(M-M,k)→0，从而a∈M. ▣ 0a0 实芳芳 Sobolev空周 满助知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记号 收敛性与连续性 收敛性与连续性 引理 设 (V, p) 是一个半范空间，M 是 V 的一个子空间. 则 M¯ 是 V 的 一个子空间. 证明. 设 v1, v2 ∈ M¯ . 则存在 M 中的序列 {v1,k}∞ k=1, {v2,k}∞ k=1，使得在 (V, p) 下，v1,k → v1，v2,k → v2 . 但 p((v1 + v2) − (v1,k + v2,k)) ≤ p(v1 − v1,k) + p(v2 − v2,k) → 0, 说明 (v1,k + v2,k) → v1 + v2 as n → ∞ 因为对 k ∈ N v1,k + v2,k ∈ M, 则 v1 + v2 ∈ M¯ . 类似地，对 α ∈ K 有 p(αv1 − αv1,k) = |α|p(v1 − v1,k) → 0, 从而 αv1 ∈ M¯ . 窦芳芳 Sobolev 空间 ——辅助知识