第92讲正项级数审敛法 413 S,=3 limS 2n 例15设∑n(an-a-1)收敛,且已知 alumna,=a>0,讨论级数∑a的敛散性 解设∑n(an-an-)的部分和为S,和为S则imS,=S再设a a1+…+an-1,下面对S。恒等变形,寻找a与S之间的关系式 S.=(a1-a)+2(a2-a1)+3(a3-a2)+…+n(an-an-1) +2a 3a2+… mo limS ∴级数∑a收敛和σ=limo,=a-S 2.利用正项级数的收敢准则 该准则指的是:正项级数收敛的充要条件是部分和数列{Sn}有上界 例16判定2石+4++4的放散性(>0=12 (1+a1)(1+a2)…(1+an-1)(1+a1)(1+a2)…(1+a 故S 1+a1(1+a1)(1+a2) (1+a1)…(1+an-1)(1+a1)…(1+an-1)(1+a,) (1+a1)…(1+an) 由于a>0(=1,2,…),所以Sn单调增,且S,<1,故级数收敛 例17设a1=2,an+1 1 (an+)(n=1,2,…),讨论 1)的敛散性 解首先考察数列{an}的敛散性 注意到{a}是正项数列,由a,+=2(+1)z2y·1=1(n=1,2…)知 {an}有下界1(注意,下面的证明中用到了数列{an}的这一性质) 又 (a,+ 1y1 -)≥0(∵an≥1,上≤1) 即an+1≤a(n=1,2,…),故{an}单调减,所以lma,存在设为a,则a≥ 由此知≥1,所以∑( 1)是正项级数,其部分和 a)+1 ∴{Sn}有上界a1-a,即所给级数收敛