412 高等数学重点难点100讲 ∑∫()绝对收做 例12已知正项级数∑收做,证明:()∑以收做,(2)∑yn收致 证(1)因∑a收敛,故ima,=0,令b=则mb.=imn2=ima,=0, 由比较审敛法的极限形式及习a的收敛性可知4=收做 注意本题常见以下错误证法:因为∑a收敛所以im=<1(×).从而im =lm()2=F<1,于是∑=∑收敛 2)因当a>0,b>0时有√a≤(a+b),故 ≤÷(a 而级数∑a及二都收敛从而∑(a+)收敛,于是∑~n收敛 三、利用级数的敛散性定义和收敛准则 1.利用定义 这种方法就是将级数的通项u,用适当的方法变形后,以便于求其部分和S.的表达式 然后考虑S,的极限 n(1+ )”(n+1) 例13判别∑mn,hn(n+1)+的敛散性 解(1)首先将通项a,积化和差 nln(1++)+ln(n+1) (n +1)In(n+1)-nInn 1 u nnInn.(n +1)ln(n+1) nInn(n+1)In(n +1) nInn (n 1)In(n+ 1) (2)求部分和Sn S Ank(k+1)n(k+1)n2(n+1)ln(n+1) (3)取极限 lims,=limn2-(n+1)hn(n+1)1=2n2故原级数收敛其和S=1 例14求级数∑22的和 2n-32n 解设S 13 则方S ++… S=S 2 =4+(+a+…+a) 7 (1 +1 1+1-1-n+