厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cl 第八章欧氏空间 84内积空间的同构,正交变换 本节首先讨论欧氏空间的同构,即保持内积的线性空间的同构 定义8.4.1设VW是两个欧氏空间,φ:V→W是线性映射,如果φ是线性空间同构且保持内 积,即对于任意的a,B∈V,有 (y(a),y(6)=(a,B) 则称φ是欧氏空间的同构,并记为VW 命题8.41欧氏空间的同构关系满足(1)反身性,即VV;(2)对称性,即若vW,则WV; (3)传递性,即若V全W,WU,则VU 定理8.4.1任意n维欧氏空间都同构于欧氏空间Rn 证明设51,52,……,5n是V的一个标准正交基,E1,E2,…,En是Rn的标准正交基,令φ为如下定 义的线性映射V→Rn:φ(5)=E,1≤i≤n.则显然φ是线性空间的同构并且对任意a,B∈V, a=a151+a22+…+an5n,B=b151+b252+…+bn5n,有 (y(a),y(6)=(a1y(1)+a2y(52)+…+any(5n),b1y(51)+b2y(52)+……+bny(5n)) (a1-1+a2E2+…+anEn,b11+b2=2+…+bnEn) a1b1+a2b2+…+anbn (a,B) 因此φ是同构 定理8.4.2两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相等. 下面讨论正交变换 定义8.4.2设φ是n维欧氏空间V的线性变换,如果φ保持内积不变,即对于任意的a,B∈V,有 (y(a),y()=(a,B), 则称φ是正交变换 从下面的定理看出来,欧氏空间V的线性变换是正交变换的充分必要条件是φ是V作为欧氏空间 的自同构 定理8.4.3设φ是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条件等价 (1)φ是正交变换 (2)保持长度不变,即对于任意的a∈V,有|(a)=|a (3)9将V的任意标准正交基变为另一个标准正交基;*l 37(!Q M IP )V 59.77.1.116; Hq gdjpkc.xmu.edu.cn }z 
§8.4 ￾
|~ { S+iy\L';H wF'.2\L'; eu 8.4.1 V, W  8y\L ϕ : V → W .2A ? ϕ .2\L;~ w FH/F;' α, β ∈ V , D (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), K ϕ  opkidrg, I" V ∼= W. nq 8.4.1 y\L';=(j_ (1) 22H V ∼= V ; (2) /2H V ∼= W, K W ∼= V ; (3) *2H V ∼= W, W ∼= U, K V ∼= U. el 8.4.1 ; n #y\L,;Fy\L R n. ym ξ1, ξ2, · · · , ξn  V '88Æ\QOE ε1, ε2, · · · , εn  R n 'Æ\QOEh ϕ ")+ <'.2A V → R n: ϕ(ξi) = εi , 1 ≤ i ≤ n. K, ϕ .2\L';~/; α, β ∈ V , α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, D (ϕ(α), ϕ(β)) = (a1ϕ(ξ1) + a2ϕ(ξ2) + · · · + anϕ(ξn), b1ϕ(ξ1) + b2ϕ(ξ2) + · · · + bnϕ(ξn)) = (a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = (α, β). = ϕ ; ✷ el 8.4.2 8D-#y\L;'46Mm'#/( )oiQO D eu 8.4.2 ϕ  n #y\L V '.2 D? ϕ wF H/F;' α, β ∈ V , D (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), K ϕ  xj h. )o'+_Z^y\L V '.2 D ϕ QO D'46M ϕ  V a"y\L '^; el 8.4.3 ϕ  n #y\L V '.2 DK)eM(K (1) ϕ QO D (2) ϕ - H/F;' α ∈ V , D |ϕ(α)| = |α|; (3) ϕ N V ';Æ\QOE "g88Æ\QOE 1