习题12.6无条件极值 1.讨论下列函数的极值: (1)f(x,y)=x4+2y-2x2-12y2+6; (2)f(x,y)=x2+y2-x2-2xy-y (3)f(x,y,z)=x2+y2 (4)f(x,y)=(y-x2)(y-x4); (5)f(x,y)=x++b,其中常数a>0,b>0 (6)f(xy,)=x++,2 (x,y,z>0) 解(1)先求驻点。由 f=4x3-4x=0 1=8y2-24y=0 解得 x=0,±y=0,±3 即函数有9个驻点。再由fn=4(3x2-1),fn=0,f=240y2-1),可知 H=96(3x2-1)(y2-1)。 应用定理1262。驻点(00),(1,√3),(1-√3),(-1,√3),(-1,-√3)满 足H>0,所以是极值点,而其余驻点不是极值点。再根据∫的符号, 可知函数在(00)点取极大值6;在(,√3),(,-√3),(-1,√3),(-1,-√3)四 点取极小值-13。 注本题可使用配方法得到 f(x,y)=(x2-1)2+2(y2-3)2-13, 由此易知(,y3),(1-√3),(-1,√3),(-1,-√3四点为函数的最小值点, 最小值为-13,函数无最大值,(00点为函数的极大值点,极大值为6。 (2)先求驻点。由习题 12.6 无条件极值 1． 讨论下列函数的极值： （1） f (x, y) = x 4 + 2y 4 − 2x 2 −12y 2 + 6； （2） f (x, y) = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 ； （3） f (x, y,z) = x 2 + y 2 − z 2 ； （4） f (x, y) = ( y − x 2 )( y − x 4 )； （5） y b x a f x y xy 3 3 ( , ) = + + ，其中常数a > 0, b > 0； （6） y z z x y f x y z x 2 ( , , ) = + + + （ x, y,z > 0）。 解 (1) 先求驻点。由 3 3 4 4 0 8 24 x y f x x f y y ⎧⎪ = − = ⎨ ⎪ = − = ⎩ 0 ， 解得 x y = ± 0, 1; = ± 0, 3 ， 即函数有 9 个驻点。再由 2 4(3 1) xx f = x − ， 0 xy f = ， 2 24( 1) yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 96(3 1)( y −1)。 应用定理 12.6.2。驻点(0,0) ，(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)满 足H > 0，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据 xx f 的符号， 可知函数在(0,0) 点取极大值6；在(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四 点取极小值−13。 注 本题可使用配方法得到 2 2 2 2 f x( , y) = − (x 1) + 2( y − 3) −13， 由此易知(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四点为函数的最小值点， 最小值为−13，函数无最大值，(0,0) 点为函数的极大值点，极大值为6。 （2）先求驻点。由 145