f2=4x3-2x-2y=0 1=4y-2x-2y=0 两式相减,可解得x=y=0,±1,即驻点为(0,0),(1.1),(-1-1)三点。再 由fn=12x2-2,fn=-2,fy=12y2-2,可知 H=4(6x2-1)6y2-1 应用定理12.62。驻点(1),(-1,-1)满足H>0,所以是极值点,再 根据∫的符号,可知函数在(,1),(-1-1)两点取极小值-2 在(00)点,有H=0,且f(0,0)=0。由于f(x,x)=2x2(x2-2), f(x,-x)=2x4,可知函数在(00)点附近变号,所以(0,0)不是极值点。 (3)先求驻点。由 解得(0,0.0)是唯一的驻点。由f(0,0,0)=0,f(x,y,0)=x2+y2 f(0,0,)=-2,可知函数在(0,0,0)点附近变号,即(0,0,0)不是极值点 所以函数无极值点 注对于二次多项式f(x),x∈R",它的 Hesse矩阵H是常数矩 阵,我们有如下结论 设x为f(x)的驻点,则由f(x)-f(x)=(x-x)H(x-x)可知 (a)f(x)为最小值的充分必要条件是H为半正定矩阵 (b)f(xn)为最大值的充分必要条件是H为半负定矩阵 (c)f(x)不是极值的充分必要条件是H为不定矩阵 本题由于函数f(x,y,)的Hese矩阵为不定矩阵,所以(0.0,0)不是 f(x,y,)的极值点3 3 4 2 2 4 2 2 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − − = ⎨ ⎪ = − − = ⎩ 0 0 ， 两式相减，可解得 x y = = 0,±1，即驻点为(0,0) ，(1,1)，(−1,−1)三点。再 由 f xx = − 12x 2 2， f xy = −2， 2 12 2 yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 4(6 1)(6y −1) − 4。 应用定理 12.6.2。驻点(1,1)，(−1,−1)满足 ，所以是极值点，再 根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在(1,1)，(−1,−1)两点取极小值−2。 在 (0,0) 点，有 H = 0 ， 且 f (0,0) = 0 。由于 f x( , x) = − 2x 2 2 (x 2) ， 4 f ( , x x − =) 2x ，可知函数在(0,0) 点附近变号，所以(0,0) 不是极值点。 （3）先求驻点。由 2 0 2 0 2 0 x y z f x f y f z ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ = − = ， 解 得 (0,0,0) 是唯一的驻点。由 f (0,0,0) = 0 ， 2 ( , ,0) 2 f x y = + x y ， 2 f (0,0,z) = −z 0 ) ，可知函数在 点附近变号，即( 不是极值点， 所以函数无极值点。 (0,0,0) 0,0,0) 注 对于二次多项式 ， ，它的 Hesse 矩阵 H 是常数矩 阵，我们有如下结论： f (x) n x ∈ R 设 x0为 f (x)的驻点，则由 f f (x) − = (x0 0 ) ( ) x x − T H (x x − 可知 （a） f (x0 )为最小值的充分必要条件是 H 为半正定矩阵； （b） f (x0 )为最大值的充分必要条件是 H 为半负定矩阵； （c） f (x0 )不是极值的充分必要条件是 H 为不定矩阵。 本题由于函数 的 Hesse 矩阵为不定矩阵，所以 不是 的极值点。 f x( , y,z) (0,0,0) f x( , y,z) 146