推论设g(x)是以2z为周期的连续偶函数,则 Weierstrass第二 逼近定理成立,且三角多项式是余弦三角多项式 Weierstrass第二逼近定理的证明 设f(x)是以2x为周期的连续函数,令 P(x)=f(x)+f(x), y(x=f(x-f(x)]sin x, 则o(x)与v(x)都是以2z为周期的连续偶函数,由上面的推论,可知对 任意给定的E>0,存在余弦三角多项式r1(x)与T2(x),使得 lp(x)-7(x)k,|v(x)-72(x)k E 对一切x∈(-∞,+∞)成立 记T3(x)=T1(x)sin2x+T2(x)sinx,于是由 Io(x)sin2x-T(x)sin2 xk=, y(x)sin x-T,(x)sinxk 得到 2f(x)sin x-l,(x)ka 对一切x∈(-,+∞)成立。由于上式对/(-)也成立,于是也有 121、分 ) I-T(Oka 令x=t-x,得到 2∫(x)cos2x-T(x+)kE 2 对一切x∈(-∞,)成立。 记r(x)=T;(x)+7(x+x,结合(*)与(*),得到 If(x)-T(x)ka 对一切x∈(-∞,o)成立推论 设 g x( )是以2π 为周期的连续偶函数，则 Weierstrass 第二 逼近定理成立，且三角多项式是余弦三角多项式。 Weierstrass 第二逼近定理的证明 设 xf )( 是以2π 为周期的连续函数，令 ϕ += −xfxfx )()()( ，ψ = − − sin)]()([)( xxfxfx ， 则ϕ x)( 与ψ x)( 都是以2π 为周期的连续偶函数，由上面的推论，可知对 任意给定的ε > 0，存在余弦三角多项式 1 xT )( 与 ，使得 2 xT )( 2 |)()(| 1 ε ϕ xTx <− ， 2 |)()(| 2 ε ψ xTx <− 对一切 成立。 x∈ −∞ +∞ ( , ) 记 3 = 1 2 + 2 sin)(sin)()( xxTxxTxT ，于是由 2 |sin)(sin)(| 2 1 2 ε ϕ − xxTxx < ， 2 |sin)(sin)(| 2 ε ψ − xxTxx < ， 得到 |)(sin)(2| <− ε 3 2 xTxxf （*） 对一切 x∈ −∞ +∞ ( , )成立。由于上式对 ) 2 ( π tf − 也成立 ，于是也有 ε π |)(sin) <−− 2 (2| 4 2 tTttf 。 令 2 π tx −= ，得到 ε π |) <+− 2 (cos)(2| 4 2 xTxxf （**） 对一切 x −∞∈ ∞),( 成立。 记 )] 2 ()([ 2 1 )( 5 3 4 π xTxTxT ++= ，结合（*）与（**），得到 − |)()(| < ε 5 xTxf 对一切 x −∞∈ ∞),( 成立。 4