第二章一维势场中的粒子 §21一维运动问题的一般分析 维问题的实际背景是平面型固体器件,“超晶格”,以及从高维问题约化下来的一维问题。 1.一维定态 Schrodinger方程的解的一般特征 维定态 Schrodinger方程是 h- d-y 2m d,2+V(x)y=Ey, 或者写为二阶常微分方程的标准形式 d n2 (E-(x)y=0 在经典力学的意义上,E=T+V,其中T是动能,永远≥0,因此我们永远有E-≥0。而在 量子力学里由于有不确定关系的缘故,我们完全谈不上粒子“在某点处的动能”,因此即使在E-V<0 的区域里,波函数仍然有非零解,也就是说粒子仍然会在那些区域出现,然而方程在E-V<0的区域 和E一>0的区域解的特征是完全不同的。我们将把E-V>0的区域称为经典允许区,E-V<0的 区域称为经典禁戒区。 把方程重写为 y E-D 并假设y是实函数。画出v(x)vs(x)的曲线,那么我们发现 在经典允许区里(E-V>0),v(x)在横轴上方是向上凸的,在横轴下方是向下凹的 在经典禁戒区里(E-V<0),v(x)在横轴上方是向下凹的,在横轴下方是向上凸的 所以,在经典允许区里(E-1>0时)v(x)呈现出振荡式的行为,而在经典禁戒区里(E-V<0 时)v(x)通常是单调变化的。 这样一个直观的图象对于我们理解后面的问题将会很有帮助。 2.关于一维定态 Schrodinger方程的解的基本定理 Wronskian定理:若势能(x)是规则的(没有奇点),v(x)和v2(x)都是一维定态 Schrodinger方 程(对应相同能量)的解,则 wi v2lEyivi-viy constant 其中v=.证明:W(x)和v{(X)分别满足 YI E-1)v1=0 E-)y2=0 前式乘以v2,后式乘以v,再把后式减去前式,得 W1U2-yil2=(yiv2-yiu2)=0 2-viv2=c L 4v1v2称为v(x)和v2(x)的Wmna行列式。当△=0时,w(x)和2(x)是线性相关的, 也就是说它们只相差一个常数因子,而当△≠0时,v(x)和v2(x)是线性无关的。 以下我们只考虑规则的势能函数。 3.一维定态的分类:束缚态与非束缚态 个量子体系的状态可以从不同的角度加以分类。区分“束缚态”与“非束缚态”是其中重要的分 类方法,它们的定义是:如果1 第二章 一维势场中的粒子 §2.1 一维运动问题的一般分析 一维问题的实际背景是平面型固体器件，“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。 1. 一维定态 Schrödinger 方程的解的一般特征 一维定态 Schrödinger 方程是 2 2 2 ( ) , 2 d V x E m dx  − + =   或者写为二阶常微分方程的标准形式 ( ) 2 2 2 2 ( ) 0. d m E V x dx  + − =  在经典力学的意义上， E T V = + ，其中 T 是动能，永远  0 ，因此我们永远有 E V−  0 。而在 量子力学里由于有不确定关系的缘故，我们完全谈不上粒子“在某点处的动能”，因此即使在 E V−  0 的区域里，波函数仍然有非零解，也就是说粒子仍然会在那些区域出现，然而方程在 E V−  0 的区域 和 E V−  0 的区域解的特征是完全不同的。我们将把 E V−  0 的区域称为经典允许区， E V−  0 的 区域称为经典禁戒区。 把方程重写为 2 2 2 1 2 ( ), d m E V dx   = − − 并假设  是实函数。画出  ( ) vs ( ) x x 的曲线，那么我们发现： 在经典允许区里（ E V−  0 ），  ( ) x 在横轴上方是向上凸的，在横轴下方是向下凹的； 在经典禁戒区里（ E V−  0 ），  ( ) x 在横轴上方是向下凹的，在横轴下方是向上凸的。 所以，在经典允许区里（ E V−  0 时）  ( ) x 呈现出振荡式的行为，而在经典禁戒区里（ E V−  0 时）  ( ) x 通常是单调变化的。 这样一个直观的图象对于我们理解后面的问题将会很有帮助。 2．关于一维定态 Schrödinger 方程的解的基本定理 Wronskian 定理：若势能 V x( ) 是规则的（没有奇点）， 1 (x) 和  2 (x) 都是一维定态 Schrödinger 方 程（对应相同能量）的解，则 1 2 1 2 1 2 1 2 constant,            − =     其中 dx d   。证明： 1 (x) 和  2 (x) 分别满足 1 1 2 2 ( ) 0 m   + − = E V , 2 2 2 2 ( ) 0 m    + − = E V , 前式乘以  2 ，后式乘以 1 ，再把后式减去前式，得 12  −1  2 = (1 2  −1 2 ) = 0 , 所以  −  = c 1 2 1 2 . ▌ 1 2 1 2         称为 ( ) 1  x 和  2 (x) 的 Wronskian 行列式。当  = 0 时， 1 (x) 和  2 (x) 是线性相关的， 也就是说它们只相差一个常数因子，而当   0 时， 1 (x) 和  2 (x) 是线性无关的。 以下我们只考虑规则的势能函数。 3. 一维定态的分类：束缚态与非束缚态 一个量子体系的状态可以从不同的角度加以分类。区分“束缚态”与“非束缚态”是其中重要的分 类方法，它们的定义是：如果