《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 例9.5.8 计算下列积分 a2aosa到 o盒 1-x 故函数f(冈)上奇函数，而积分区间是以原点为中心的对称区间，故由例9.5.6，得 n=0 (2)设代)+m,由于定义在与原点对称的区间上的函数总可以表示为一个偶函数 与一个奇函数之和，即 f)=[f)+-x]+[f)-f-]=)+5() 这里)-/+儿刃为偶质数，国-八刃为商商数，由例.56可知 的引o-oe小 1 由例9.5.6，得 例9.5.9 证明若函数()是以T卜0)为周期的可积函数，则 f)=f) (9.5.7) 证：由于 f)本=心f)本+f)+fx)d 对上式的最后一个积分作换元x=+T,有 Sf(x)d=[f(u+T)du=Sf(u)du=-f(x)ds 于是 f)杰=f)本+f)-心f)=fx) 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 14 例 9.5.8 计算下列积分 （1） ( ) 1 ln 0 1 1 a a x dx a x − +   −  ； （2） 4 4 1 sin dx x   − +  解： （1） 记 ( ) 1 ln 1 x f x x + = − ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ln ln ln 1 1 1 x x x f x f x x x x + − − + − = = = − = − − − + − ， 故函数 f x( ) 上奇函数，而积分区间是以原点为中心的对称区间，故由例 9.5.6，得 1 ln 0 1 a a x dx x − + = −  （2）设 ( ) 1 1 sin f x x = + ，由于定义在与原点对称的区间上的函数总可以表示为一个偶函数 与一个奇函数之和，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 f x f x f x f x f x f x f x = + − + − − = +         这里 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x = + −     为偶函数， 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x = − −     为奇函数，由例 9.5.6 可知， f x 2 ( ) 在 , 4 4     −    上的积分为零而 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 sin 1 sin f x f x f x x x   = + − = +         + − 为偶函数， 由例 9.5.6，得 4 4 4 4 4 4 4 4 2 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 sin 2 1 sin 1 sin 2 1 sin 1 sin 2 2 tan 2 cos dx dx dx x x x x x dx x x         − − −     = + =  + =     + + − + −     = =     例 9.5.9 证明 若函数 f x( ) 是以 T ( 0) 为周期的可积函数，则 ( ) ( ) 0 a T T a f x dx f x dx + =   （9.5.7） 证：由于 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 a T T a T a a T f x dx f x dx f x dx f x dx + + = + +     对上式的最后一个积分作换元 x u T = + ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 a T a a a a f x dx f u T du f u du f x dx + = + = = −     于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 a T T T a a a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx + = + − =     