《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 例9.5.6求证 (simx本=fsn)d (9.5.4) 计身女 证：令x=π一u,有 Sx(sinx)ds=S"(x-u)f[sin(r-u)](-du)= f(snk-(sinx)本 故 (sinx)本=7f(sin)本 由公式(5.4)，得 例9.5.7 证明：若函数f)e-ad,则 (1) 若f=-f),则心本=0 (2) 若f()=f),则=2f) 证：由9.3节性质3，知 f)=f)在+f) (5.6) (1) 若f仁)=-f()令x=-积分 心f)=f-(-d)=-6f)d=-f(x)c 从而根据式(9.5.6)，有 f)=-心f)本+f=0 (2) 若（仁）=（因，令x=-“,积分 f(x)dx=[f(-u)(-du)=[f(u)du=["f(x)d 再根据式(9.5.6)，有 Cf)=r()+f)=2)《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 13 例 9.5.6 求证 ( ) ( ) 0 0 sin sin 2 xf x dx f x dx    =   （9.5.4） 并计算 0 sin 1 cos x x dx x  +  。 证：令 x u = −  ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 sin sin sin sin xf x dx u f u du f x dx xf x dx        = − − − =     −     故 ( ) ( ) 0 0 sin sin 2 xf x dx f x dx    =   由公式（5.4），得 2 2 0 0 sin sin arctan cos 1 cos 2 1 cos 2 4 0 x x x dx dx x x x       = = − = + +   例 9.5.7 证明：若函数 f x R a a ( ) − ,  ，则 （1） 若 f x f x (− = − ) ( ) ，则 ( ) 0 a a f x dx − =  ； （2） 若 f x f x (− =) ( ) ，则 ( ) ( ) 0 2 a a a f x dx f x dx − =   。 证：由 9.3 节性质 3，知 ( ) ( ) ( ) 0 0 a a a a f x dx f x dx f x dx − − = +    （5.6） （1） 若 f x f x (− = − ) ( ), 令 x u = − , 积分 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 a a a a f x dx f u du f u du f x dx − = − − = − = −     从而根据式（9.5.6），有 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 a a a a f x dx f x dx f x dx − − = − + =    （2） 若 f x f x (− =) ( ) ，令 x u =− ，积分 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 a a a a f x dx f u du f u du f x dx − = − − = =     再根据式（9.5.6），有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 a a a a a f x dx f x dx f x dx f x dx − = + =    