来表示 二、整除的性质 1.任一多项式f(x)一定整除它自身 2.任一多项式∫(x)都能整除零多项式0 3.零次多项式,即非零常数,能整除任一个多项式 4.若f(x)|g(x)g(x)|f(x),则f(x)=cg(x),其中c为非零常数 5.若f(x)|g(x),g(x)h(x),则f(x)|h(x)(整除的传递性) 6.若f(x)|g(x),i=1,2,…,r,则 f(x)|(1(x)g(x)+2(x)g2(x)+…+l1(x)g1(x) 其中u1(x)是数域P上任意的多项式 通常,a1(x)g(x)+u2(x)g2(x)+…+l,(x)g,(x)称为g1(x),g2(x)…g,(x)的 个组合 由以上性质可以看出,f(x)与它的任一个非零常数倍c(x)(c≠O)有相同的 因式,也有相同的倍式因之,在多项式整除性的讨论中,f(x)常常可以用cf(x) 来代替 最后,两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变即若f(x), g(x)是Px]中两个多项式,P是包含P的一个较大的数域当然,f(x),g(x)也 可以看成是P[x]中的多项式从带余除法可以看出,不论把f(x),g(x)看成是 Px]中或者是P[x]中的多项式,用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的 因此,若在P[x]中g(x)不能整除f(x),则在P[x]中,g(x)也不能整除f(x) 例1证明若g(x)f(x)+f2(x)g(x)f1(x)-f2(x),则 g(x)If(x),g(x)If2(x) 例2求k,l,使x2+x+lx3+kx+1 例3若g(x)|f(x),g(x)h(x),则g(x)f(x)+h(x)来表示. 二、整除的性质 1. 任一多项式 f (x) 一定整除它自身. 2. 任一多项式 f (x) 都能整除零多项式 0. 3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. 4. 若 f (x) | g(x), g(x) | f (x) ，则 f (x) = cg(x),其中 c 为非零常数. 5. 若 f (x) | g(x), g(x) | h(x) ，则 f (x) | h(x) （整除的传递性）. 6. 若 f x g x i r i ( ) | ( ), =1,2,  , ，则 ( )| ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 2 2 f x u x g x u x g x u x g x + ++ r r , 其中 u (x) i 是数域 P 上任意的多项式. 通常， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 u x g x u x g x u x g x + ++ r r 称为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 g x g x g x  r 的 一个组合. 由以上性质可以看出， f (x) 与它的任一个非零常数倍 cf (x)(c  0) 有相同的 因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中， f (x) 常常可以用 cf (x) 来代替. 最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若 f (x) ， g(x) 是 P[x] 中两个多项式， P 是包含 P 的一个较大的数域.当然， f (x) ，g(x) 也 可以看成是 P[x] 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f (x) ， g(x) 看成是 P[x] 中或者是 P[x] 中的多项式，用 g(x) 去除 f (x) 所得的商式及余式都是一样的. 因此，若在 P[x] 中 g(x) 不能整除 f (x) ，则在 P[x] 中， g(x) 也不能整除 f (x) . 例 1 证明若 ( )| ( ) ( ), ( )| ( ) ( ) 1 2 1 2 g x f x + f x g x f x − f x ，则 ( )| ( ), ( )| ( ) 1 2 g x f x g x f x 例 2 求 k,l ，使 | 1 2 3 x + x + l x + kx+ . 例 3 若 g(x) | f (x), g(x) | h(x) ，则 g(x) | f (x) + h(x)