§3整除的概念 在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算一除法 并不是普遍可以做的因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系 整除的概念 带余除法对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,一定有 Px]中的多项式q(x)r(x)存在,使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立,其中(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商,r(x)称为g(x)除f(x)的 余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式 h(x)使等式 f(x)=g(xh(x) 成立用“g(x)∫(x)”表示g(x)整除∫(x),用“g(x)|f(x)”表示g(x)不能整除 当g(x)|f(x)时,g(x)就称为f(x)的因式,f(x)称为g(x)的倍式 当g(x)≠0时,带余除法给出了整除性的一个判别条件 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0 g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零 带余除法中g(x)必须不为零.但g(x)|f(x)中,g(x)可以为零这时 f(x)=g(x)·h(x)=0·h(x)=0 当g(x)|f(x)时,如g(x)≠0,g(x)除f(x)的商q(x)有时也用 g(x)§3 整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法 —并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 一、整除的概念 带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x)  0 ，一定有 P[x] 中的多项式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x))  (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的 余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立.用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 整除 f (x) ，用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式. 当 g(x)  0 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) ， g(x) ，其中 g(x)  0 ， g(x) | f (x) 的充要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 带余除法中 g(x) 必须不为零 . 但 g(x) | f (x) 中 ， g(x) 可以为零 . 这时 f (x) = g(x) h(x) = 0  h(x) = 0 . 当 g(x) | f (x) 时，如 g(x)  0 ， g(x) 除 f (x) 的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x