【例4】在平面上运动的两质点(x1,y1)(x2y2)以定长刚性棒相互固连 个约束方程(x2-x1)+(y2-y)=472可以选三个独立的广义坐标为:(3=4-1)两质 点连线中点的坐标(xC,y)和连线方向的角坐标,(这里所选的x2,yC,都不是某一质点 的坐标,而是属于整个质点系的广义坐标)即: 4=x=(x+x)/2,=y=(+y)/2,q2=g=aran[(y2-y)/(x一x Ex x,=qu -lcos q3, y=g2-Isin q3: x2=qu+ l cos q3, y2=92+ Isin q3 【思考】选取广义坐标的方法是不是唯一的? 1.3.约束广义坐标自由度(§2.1.§2.2.) 1.约束的实例 一般地,质点或质点系所受到的约束可以用约束方程来表示。此时独立坐标的数目相应减少。例如n 个质点组成的质点系受到k个约束:f(石,,…,)=0,=1,2…,k,此时独立坐标的数目减少为 S=(3n-k)。可以选用适当的s=(3-k)个独立的广义坐标。此时也可以看作质点系约束在3m维空间 中的(37-k)维超曲面上。我们再举几个约束的实例 【例5】用(细轻软不可伸长的)绳子连结两质点跨过轻滑轮(此力学体系位于竖直平面内,有4个 坐标) V,+ J2 三个约束方程: x=可以选独立的广义坐标为:q=x1就有:=q In=C-q 【例6】置于竖直墙和水平地面间的光滑刚性杆 y=2lsin o 选q=Q coS p y2=0 4, cos 8, y,=l sin 8, 【例7】双单摆(178页例1) (-x)+(y2-y)=2=4+g{9= 42= 4 sin, +1, sin 0 x2 )+(y-y2 )=1*=RcoS 2p-l cos p 【例8】碗边上的筷 y-x-R y,=-Rsin 2p+Isin p y2x2+R x,=Rcos 2 y2=-Rsin 2mp7 【例 4】 在平面上运动的两质点 ( ) ( ) 1 1 2 2 x , y , x , y 以定长刚性棒相互固连 一个约束方程 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 x x y y l − + − = 4 可以选三个独立的广义坐标为：（3=4 − 1）两质 点连线中点的坐标 ( ) C C x , y 和连线方向的角坐标  ，（这里所选的 , , C C x y  都不是某一质点 的坐标，而是属于整个质点系的广义坐标）即： 1 1 2 ( )/ 2 C q x x x = = + ， 2 1 2 ( )/ 2 C q y y y = = + ， q y y x x 3 2 1 2 1 = = − −  arctan /   ( ) ( )   或 1 1 3 x q l q = − cos ， 1 2 3 y q l q = − sin ； 2 1 3 x q l q = + cos ， 2 2 3 y q l q = + sin 【思考】选取广义坐标的方法是不是唯一的？ 1．3．约束 广义坐标 自由度（§2．1．§2．2．） 1．约束的实例 一般地，质点或质点系所受到的约束可以用约束方程来表示。此时独立坐标的数目相应减少。例如 n 个质点组成的质点系受到 k 个约束： f r r r i k i n ( 1 2 , , , 0, 1,2, , ) = = ，此时独立坐标的数目减少为 s = (3n k − ) 。可以选用适当的 s = (3n k − ) 个独立的广义坐标。此时也可以看作质点系约束在 3n 维空间 中的 (3n k − ) 维超曲面上。我们再举几个约束的实例： 【例 5】用（细轻软不可伸长的）绳子连结两质点跨过轻滑轮（此力学体系位于竖直平面内，有 4 个 坐标） 三个约束方程： 1 2 1 0 2 0 y y C x x x x  + =   =  =   可以选独立的广义坐标为： 1 q y = 就有： 1 2 y q y C q  =   = − 【例 6】置于竖直墙和水平地面间的光滑刚性杆 2 2 2 2 1 1 2 4 0 0 x y l x y  + =   =  =  1 1 2 sin 2 cos y l x l    =   = 选 q =  【例 7]】双单摆（178 页例 1） ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 xyl x x y y l  + =    − + − =  1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 cos sin cos cos sin sin x l y l x l l y l l        =   =  = +    = + 选 1 1 2 2 q q    =   = 【例 8】 碗边上的筷 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x x y y l y x R y x R x y R  − + − =   − −  = − +   + =  1 1 2 2 cos 2 cos sin 2 sin cos 2 sin 2 x R l y R l x R y R        = −   = − +  =    = −