《分析力学》课程教学资源（教案讲义）第一章 运动学（上）

第一章运动学(上) (第一章上参阅教材 §1.3.§2 运动学研究机械运动的描述方法,也就是讨论机械运动的几何学方面的特性,而不涉及 机械运动变化的原因,即不涉及动力学方面的特性。 1.1.质点运动学(参阅教材§1.2.) 1.质点运动学描述质点的机械运动,主要就是描述质点的位置、速度、加速度和运动轨 迹以及它们之间的关系等。所采用的数学工具有:矢量、坐标系、微分、积分等。 质点的位置用质点的位矢F=f()来表示,利用求导数的方法可求得速度p≈和加速度 a dy d2r dt 利用积分可作上述运算的逆运算 2.为了对质点的机械运动进行具体的描述,必须选用合适的坐标系。常用的坐标系有 (1)直角坐标:坐标曲线是互相垂直的三组平行直线族,沿坐标曲线的矢量(组成 组基矢)方向是不变的,且相互垂直。因而我们总可选一组单位常矢量i,,k作为基矢 (平面直角坐标情况相仿)。这些特点使我们运用起来很方便。 (2)平面极坐标(当质点在平面运动时,有时可选用) (3)球坐标(球极坐标) (4)柱坐标 以上三种坐标是我们最常用的曲线坐标,曲线坐标的坐标曲线一般为曲线族,(因而在 各点沿坐标曲线的切线的单位矢量,方向可能不同,但只和质点的位置有关,而和速度无关) 当然也不完全排除直线族(例如:柱坐标的坐标曲线中有互相平行的直线族;平面极坐标、 球坐标、柱坐标的坐标曲线中均有互不平行的射线族)。 在这三种情况下,沿坐标曲线(的切线)的单位矢量依然是相互垂直的(我们称之为 正交的),因而它们满足可·=6k(特别可1·e=1)若=()依赖于任意参数, 则⊥。特别若O为单位矢量l1与某一固定方向的夹角,则有 1。例如:在平 面极坐标情形下,取互相垂直的径向和横向单位基矢,可求得出d d e e=b,=-,;进而可求得节和a的表达式。(以上参阅教材5-7页) 在此给出球坐标系(球极坐标)中求速度加速度的运算过程: =rsin cosodx=sin 0 cos odr+rcos@ cos odo-rsin sin do y= rsin esin dy= sin esin dr+ rcos Osin d+rsin6 cos odo可求得九个偏导数 c=rose d= cos edr-rsin ede

1 第一章 运动学 （上） （第一章上参阅教材§1．2．§1．3．§2．1．§2．2．） 运动学研究机械运动的描述方法，也就是讨论机械运动的几何学方面的特性，而不涉及 机械运动变化的原因，即不涉及动力学方面的特性。 1．1．质点运动学 （参阅教材§1．2．） 1．质点运动学描述质点的机械运动，主要就是描述质点的位置、速度、加速度和运动轨 迹以及它们之间的关系等。所采用的数学工具有：矢量、坐标系、微分、积分等。 质点的位置用质点的位矢 r r(t)   = 来表示，利用求导数的方法可求得速度 dt dr v   = 和加速度 2 2 dt d r dt dv a    = = ；利用积分可作上述运算的逆运算。 2．为了对质点的机械运动进行具体的描述，必须选用合适的坐标系。常用的坐标系有： （1）直角坐标：坐标曲线是互相垂直的三组平行直线族，沿坐标曲线的矢量（组成一 组基矢）方向是不变的，且相互垂直。因而我们总可选一组单位常矢量 i j k , , 作为基矢 （平面直角坐标情况相仿）。这些特点使我们运用起来很方便。 （2）平面极坐标（当质点在平面运动时，有时可选用） （3）球坐标（球极坐标） （4）柱坐标 以上三种坐标是我们最常用的曲线坐标，曲线坐标的坐标曲线一般为曲线族，（因而在 各点沿坐标曲线的切线的单位矢量，方向可能不同，但只和质点的位置有关，而和速度无关）； 当然也不完全排除直线族（例如：柱坐标的坐标曲线中有互相平行的直线族；平面极坐标、 球坐标、柱坐标的坐标曲线中均有互不平行的射线族）。 在这三种情况下，沿坐标曲线（的切线）的单位矢量依然是相互垂直的（我们称之为 正交的），因而它们满足 i k ik e  e =    （特别 el  el = 1   ）。若 ( ) l l e e   = 依赖于任意参数  ， 则 l l e d de   ⊥  。特别若  为单位矢量 l e  与某一固定方向的夹角，则有 = 1 d del  。例如：在平 面极坐标情形下，取互相垂直的径向和横向单位基矢 , r e e ，可求得 , r r de de e e d d     = = − ； , r r e e e e = = −     ；进而可求得 v 和 a 的表达式。（以上参阅教材 5－7 页） 在此给出球坐标系（球极坐标）中求速度加速度的运算过程： sin cos sin sin cos x r y r z r       =   =   = sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin dx dr r d r d dy dr r d r d dz dr r d                     = + −   = + +   = − 可求得九个偏导数

√2+y rdr= xdx+ ydy +zdz tan 0= 3 secede= xdx+ ydy dz可求得九个偏导数进一步可求得 p=y/x ydx or=i, or=j, or=k: or=sin 0 cos i +sin e sin g j +cos 0k=e =rcos 6 cos i +rcos Osin j-rsin bk =re -rsin esin i +rsin 6 cos j=rsinge 由此可见产=r=xi+y+zk= r(sin 0 cos i+ sin esin o j+cosk) e or=sin@ cos i +sin 0 sin j+cos0k r00-cose cos pi +cos e sinpj-sinOk e,|b→b+ e.=e.×e rsin 8 ao -sin I t cos J de 0 sin de 0 s de ae =-sinee -cos Bee=-cospi-sino j dr=xi+jj+:k=(isin 0 cosp +recose cosop-risin 0 sino F +isin 0 sin p+recos0 sino+rp sin@cosq +lcos8-re sin e k 产+日+=+re+ raine·。 )=尼*,=问+r+rmn0 2

2 2 2 2 2 2 tan tan / r x y z x y z y x    = + +   +  =   =  2 2 2 2 2 2 2 2 sec 1 sec rdr xdx ydy zdz xdx ydy x y d dz z z x y y d dx dy x x       = + +   + +  = −  +   = − +  可求得九个偏导数,进一步可求得： , , r r r i j k x y z    = = =    ； sin cos sin sin cos r r i j k e r       = + + =  , cos cos cos sin sin r r i r j r k re         = + − =  sin sin sin cos sin r r i r j r e         = − + =  由此可见 (sin cos sin sin cos ) r r re xi yj zk r i j k = = + + = + +      r r e r  = =  sin cos sin sin cos      i j k + + 1 r e r    = =  cos cos cos sin sin      i j k + − 2 r e e       =  +     1 sin r e r     = =  − + sin cos   i j r e e e   =  0 r er =    ， r e e   =  ， sin r e e     =  ， 0 r e =     ， r e e    = −  ， cos e e      =  ， 0 r e =     ， 0 e =      ， sin cos r de e e d      = − − cos i - sin j   = −   ( ) ( ) ( ) ( )                                  re r e rsin e dt de re re r dt d re r e rsin e r r r r r rcos r sin k rsin sin r cos sin r sin cos j x i y j z k rsin cos r cos cos - r sin sin i dt dr v r r r r r                                         = = + = + +  = + +    +   +   = + − + + + = = + + = +

0+-=be+sib.φe dt a0 ao dt 8.e 进一步可以求得加速度表达式。参见教材7页(2.21)式。(其他坐标系中的运算也可仿此 进行) 为什么要有多种坐标系供选用?根据问题的特点(包括:力、势能、约束等的对称性及 其它特点),选用适当的坐标比较方便。(当然,采用别的坐标只是“不够方便”而不是原则 上“不可能”。) 例如约束于球面上的运动质点,若用直角坐标,则三个坐标并不完全独立,需附加 约束方程x2+y2+z2=12;若用球坐标,约束方程简化为r=l,径向坐标为常数,实际 上只需两个独立坐标。(在平面、圆周、圆柱面、圆锥面等各种约束的情况,应如何处理?) 又如由于相互作用力的特点,例如保守的有心力(只与r有关),若采用平面极坐标,则很 容易化为一维问题。(详见第二章) *【思考】柱坐标和球坐标都可看成平面极坐标到三维空间的不同的推广,能否推广到 更高维空间? *(5)一般的曲线坐标(本段内容可参阅参考资料2上册第一章§9) 在这种情况下,沿坐标曲线的单位矢量不限于相互正交 我们用q,q2和q记曲线坐标,把直角坐标和曲线坐标之间的变换记为 x=x (a,, q)=x(a) =y(yy)=y()=g(xy)k=123满足0(xy3)≠0 =(q,92,q)==(q) 曲线坐标系的坐标曲面记为q=q(x,y,-)=C(k=12,3),坐标曲线记为 q=q(x,y, =)=CK q=q(r,y,=) 矢径表为F=F(q)=x(q)+y(q)+=(q)k 仿照前面的计算可求得沿坐标曲线的基矢E1=可=0X7+万+如k agagag ag k=1.2.3 (}一般不一定正交归一,甚至量纲都可以不为1,但必定是线性独立的

3          e sin e e e dt der r r          = +    +   =            e cos e e e dt de r          = − +    +   =             sin e - cos e e e dt de r          = −     +   = 进一步可以求得加速度表达式。参见教材 7 页（2．21）式。（其他坐标系中的运算也可仿此 进行） 为什么要有多种坐标系供选用？根据问题的特点（包括：力、势能、约束等的对称性及 其它特点），选用适当的坐标比较方便。（当然，采用别的坐标只是“不够方便”而不是原则 上“不可能”。） 例如约束于球面上的运动质点，若用直角坐标，则三个坐标并不完全独立，需附加一 约束方程 2 2 2 2 x + y + z = l ；若用球坐标，约束方程简化为 r = l ，径向坐标为常数，实际 上只需两个独立坐标。（在平面、圆周、圆柱面、圆锥面等各种约束的情况，应如何处理？） 又如由于相互作用力的特点，例如保守的有心力（只与 r 有关），若采用平面极坐标，则很 容易化为一维问题。（详见第二章） *【思考】柱坐标和球坐标都可看成平面极坐标到三维空间的不同的推广，能否推广到 更高维空间？ *(5)一般的曲线坐标（本段内容可参阅参考资料 2 上册第一章§9） 在这种情况下，沿坐标曲线的单位矢量不限于相互正交 我们用 1 2 q q, 和 3 q 记曲线坐标，把直角坐标和曲线坐标之间的变换记为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , , , k k k x x q q q x q y y q q q y q z z q q q z q  = =    = =   = =  ( , , ) k k q q x y z = k = 1, 2,3 满足 ( ) ( ) 1 2 3 , , 0 , , x y z q q q    曲线坐标系的坐标曲面记为 ( , , ) k k k q q x y z C = = (k = 1,2,3) ，坐标曲线记为 ( ) ( ) , , , , k k k l l l q q x y z C q q x y z C  = =   = =  k l, 1,2,3, = k l  矢径表为 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k r r q x q i y q j z q k = = + + 仿照前面的计算可求得沿坐标曲线的基矢 k k k k k r x y z i j k q q q q      = = + +     ， k = 1, 2,3  k  一般不一定正交归一，甚至量纲都可以不为 1，但必定是线性独立的

对于非正交归一基,矢量的分量有两种不同的表达方式。下面我们以实2维空间的矢量 为例来说明。在平面上选一组正交归一基矢{,已2},再建立一组一般不正交归一的基矢 E=∑叫,但要求系数行列式det(an)≠0,以保证它们线性独立 引进度规张量gx=8k=EE=E·E,一般说,g≠,其量纲也可能不为1。考 虑任意一个矢量A,一方面可以用平行四边形法则表为A=A1+A2E2,另一方面,还 可以用矢量在基矢上的投影来表示:AE=A,AE2=A,一般说,A≠A(k=1,2), A称为逆变分量,A称为协变分量,它们之间有如下的关系 4=A.6=∑A6·E4=∑A8=∑84 一般地,矢量长度的平方F=1团==(4)+(f)也(4)+(4),事实上 A=A·A=∑∑!EA=∑8!=∑4 由于{}线性独立,dt(g)≠0,可由(§)式解出A=∑g"4,其中系数g“满足 g"=g4,以及∑8ng"=61,因而(g")与(g)是互逆的矩阵 若记det(g)=g,则有det(g)=g由上可知,度规张量g和g“有升降指标之功能 这种功能还能推广到高阶张量,例如:∑gm=7m,∑gBm7=Tm用到度规 l,n=1 张量本身,就得到∑g8m=g",与(*)式比较可知,g以及8′就是 Kronecker 6一记号。利用度规张量可把矢量的内积表为多种形式 AB=S灯B=∑B=∑4B=∑B=∑x"AB 对于正交归一化的基(},我们有g==6,g"=6,度规矩阵成为单位矩 阵,从而A4=A4,逆变分量和协变分量没有区别。以上这套方法可以直接推广到n维情

4 对于非正交归一基，矢量的分量有两种不同的表达方式。下面我们以实 2 维空间的矢量 为例来说明。在平面上选一组正交归一基矢 e e 1 2 , ,  再建立一组一般不正交归一的基矢 2 1 l k k l l  a e = =  ，但要求系数行列式 det 0 ( ) l k a  ，以保证它们线性独立。 引进度规张量 kl lk k l l k g g = =  =      ，一般说， , kl kl g   其量纲也可能不为 1。考 虑任意一个矢量 A ，一方面可以用平行四边形法则表为 1 2 A A A 1 2 = +   ，另一方面，还 可以用矢量在基矢上的投影来表示： 1 1 2 2 A A A A  =  =   , , 一般说， k A A  k (k = 1,2) ， k A 称为逆变分量， Ak 称为协变分量，它们之间有如下的关系： 2 2 2 1 1 1 l l l k k l k lk kl l l l A A A A g g A    = = = =  =  = =    （§） 一般地，矢量长度的平方 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 A A A A A A = =   + 也 ( ) ( ) 2 2  + A A 1 2 ，事实上， 2 2 2 2 2 1 1 , 1 1 k l k l k k l kl k k l k l k A A A A A g A A A A   = = = = =  =  = =    由于  k  线性独立， det 0, (gkl )  可由（§）式解出 2 1 k kl l l A g A = =  ，其中系数 kl g 满足 kl lk g g = ，以及 2 1 lj j kl l l g g  =  = ，因而 ( ) kl g 与 (gkl ) 是互逆的矩阵。 （  ） 若记 det(g g kl )  ，则有 ( ) 1 det kl g g −  .由上可知，度规张量 kl g 和 kl g 有升降指标之功能。 这种功能还能推广到高阶张量，例如： 2 1 kl k lm m l g T T  =  = ， 2 ln , 1 kl mn km l n g g T T =  = 用到度规 张量本身，就得到 2 1 lm m kl k l g g g =  = ，与（  ）式比较可知， k l g 以及 k l g 就是 Kronecker  －记号。利用度规张量可把矢量的内积表为多种形式： 2 2 2 2 2 , 1 , 1 1 1 , 1 k l k l l k kl k l kl l k k l k l k l l k k l A B A B g A B A B A B g A B   = = = = =  = = = = =      对于正交归一化的基 ek  ，我们有 , kl kl kl k l kl g e e g =  = =   ，度规矩阵成为单位矩 阵，从而 k A A = k ，逆变分量和协变分量没有区别。以上这套方法可以直接推广到 n 维情

形,必要时也可推广到复数情形 现在我们可以利用度规张量来计算速度和加速度矢量的表达式了。利用矢径公式 r=x(gf)i+y(a)j+(a')k 可以求出元位移的表达式 F=∑=∑E,其中是元位移的逆变分量,而它的协变分量则为 dn=6·d=∑EEd=∑gdr从而弧微分的平方可以表为 d2=d,d=∑=∑g,进而我们可以速度的表达式 kl=l dr_3daF ∑ 由此得=,=以及y-4-( 下面我们来计算加速度的协变分量(进而计算逆变分量也就不难了) 币 ak=a·Ek dt a](( 在以上计算过程中用到了下列关系 d ar 这两个被称为第一和第二拉格朗日经典关系的公式(请同学自行从已有关系中导出)。 把这些结果运用到牛顿动力学方程,由ma=F出发,求等式在坐标基矢sD 上 的投影,得到m=F.=.即“「|- dh OK 这就是单质点力学体系的拉格朗日方程(推广到质点系并无原则上的困难,见第三章)。 思考与练习 1。利用一般曲线坐标系的公式求球坐标系中速度和加速度的表达式,并和以前学过的 多种方法作比较。 2。A=2i+j,其中i,为一组正交归一基矢,另取一组基矢1,E2,求在这组基矢 下的8g",以及矢量在这组基矢下的A,4,以及

5 形，必要时也可推广到复数情形。 现在我们可以利用度规张量来计算速度和加速度矢量的表达式了。利用矢径公式 ( ) ( ) ( ) k k k r x q i y q j z q k = + + 可以求出元位移的表达式 3 3 1 1 k k k k k k r dr dq dq q  = =  = =    ，其中 k dq 是元位移的逆变分量，而它的协变分量则为 3 3 1 1 l l k k k l kl l l dq dr dq g dq    = = =  =  =   从而弧微分的平方可以表为 3 3 2 , 1 , 1 k l k l k l kl k l k l ds dr dr dq dq g dq dq   = = =  =  =   ，进而我们可以速度的表达式 3 3 1 1 k k k k k k dr dq v q dt dt   = = = = =   ， 由此得 k k v q = ， 3 1 l k kl l v g v = =  以及 2 3 2 , 1 k l kl k l ds v g q q dt =   = =      下面我们来计算加速度的协变分量（进而计算逆变分量也就不难了） 2 2 2 2 k k k k k k k dv r d r d r d v v a a v v dt q dt q dt q dt q q               =  =  =  −  = −                      在以上计算过程中用到了下列关系 kkk v r r qqq    = =  和 kkk d r r v dt q q q    = =  这两个被称为第一和第二拉格朗日经典关系的公式（请同学自行从已有关系中导出）。 把这些结果运用到牛顿动力学方程，由 ma F = 出发，求等式在坐标基矢 k k r q   =  上 的投影，得到 k k k r ma F Q q  =    即 k k k d T T Q dt q q     − =       这就是单质点力学体系的拉格朗日方程（推广到质点系并无原则上的困难，见第三章）。 思考与练习 1。利用一般曲线坐标系的公式求球坐标系中速度和加速度的表达式，并和以前学过的 多种方法作比较。 2。 A i j = + 2 ，其中 i j , 为一组正交归一基矢，另取一组基矢 1 2  , ，求在这组基矢 下的 , , kl kl g g 以及矢量 A 在这组基矢下的 , , k A Ak 以及 A

3。设E=∑a,{}为正交归一基,{}般不是正交归一基。 求证:det(g)-[det(a, (6)自然坐标(教材7-9页) 自然坐标的基矢与速度的方向有关,(不同于前述的几种坐标) 密切平面:几何学:切线与主法线所张的平面。 运动学:速度与加速度所张的平面。 动力学:作用力与速度所张的平面(作用力总在密切平面内)。 曲率半径的公式的证明:参阅有关微分几何的书籍。 3.现在我们来讨论受约束的质点如何运动。在有约束的情况下,独立坐标数目减少。约 束可以用约束方程来表示 【例1】]平面上的曲线约束:F(x,y)=0独立坐标数目从2减少为1,可以选用x或 y为独立坐标,也可以用参数方程表示这条曲线。{x=()这样我们可选用D作为独立 y=g() 坐标,以代替x或y,这样的坐标称为广义坐标,记为q=l 例如:圆x2+y2=a ∫x= a e 可以选q=为广义坐标。 y=asin 我们熟悉的匀速圆周运动就可以表为:O=0 【例2】空间的曲面约束:F(x,y,=)=0独立坐标数目从3减少为2 也可以用参数方程表示:{y=g(n,y)可选独立的广义坐标为 =h(u, v) Sine 例如:球面x2+y2+2=R2{y= Rsin esin选 ∫q c =Rose q2=9 【例3】空间的曲线约束 ∫F(xy=)=0 F 可以用参数方程表示:{y=g(a) h(u 独立坐标数目从3减少为1,可选q=l 1.2.质点系运动学(参阅教材§1.3.) 1.质点系:多个质点所组成的力学体系。n个质点,用3n个坐标描述他们的运动。质 点系的运动学似乎只是质点运动学的直接延拓。其实不然,一方面,由于约束的存在,问题 并非如此简单;另一方面,引入广义坐标却提供了简化问题的可能性。(质点系的质点数目 极其巨大时,这个方法不适用一一需要统计物理。)下面我们先来看两体问题(讨论两个质 点组成的质点系)的一个实例

6 3。设 3 1 l k k l l  a e = =  ，el 为正交归一基，  k  一般不是正交归一基。 求证： ( ) ( ) 2 det det kl kl g a =     （6）自然坐标(教材 7－9 页) 自然坐标的基矢与速度的方向有关，（不同于前述的几种坐标） 密切平面：几何学：切线与主法线所张的平面。 运动学：速度与加速度所张的平面。 动力学：作用力与速度所张的平面（作用力总在密切平面内）。 曲率半径的公式的证明：参阅有关微分几何的书籍。 3．现在我们来讨论受约束的质点如何运动。在有约束的情况下，独立坐标数目减少。约 束可以用约束方程来表示。 【例 1】 平面上的曲线约束： F x y ( , 0 ) = 独立坐标数目从 2 减少为 1，可以选用 x 或 y 为独立坐标， 也可以用参数方程表示这条曲线： ( ) ( ) x f u y g u  =   =  这样我们可选用 u 作为独立 坐标，以代替 x 或 y ，这样的坐标称为广义坐标，记为 q u = 例如： 圆 2 2 2 x y a + = cos sin x a y a    =   = 可以选 q =  为广义坐标。 我们熟悉的匀速圆周运动就可以:表为： ＝t 【例 2】空间的曲面约束： F x y z ( , , 0 ) = 独立坐标数目从 3 减少为 2 也可以用参数方程表示： ( ) ( ) ( ) , , , x f u v y g u v z h u v  =   =  =  可选独立的广义坐标为 1 2 q u q v  =   = 例如：球面 2 2 2 2 x y z R + + = sin cos sin sin cos x R y R z R       =   =   = 选 1 2 q q    =   = 【例 3】空间的曲线约束： ( ) ( ) 1 2 , , 0 , , 0 F x y z F x y z  =   =  可以用参数方程表示： ( ) ( ) ( ) x f u y g u z h u  =   =  =  独立坐标数目从 3 减少为 1，可选 q u = 1．2．质点系运动学（参阅教材§1．3．） 1．质点系：多个质点所组成的力学体系。 n 个质点，用 3n 个坐标描述他们的运动。质 点系的运动学似乎只是质点运动学的直接延拓。其实不然，一方面，由于约束的存在，问题 并非如此简单；另一方面，引入广义坐标却提供了简化问题的可能性。（质点系的质点数目 极其巨大时，这个方法不适用——需要统计物理。）下面我们先来看两体问题（讨论两个质 点组成的质点系）的一个实例

【例4】在平面上运动的两质点(x1,y1)(x2y2)以定长刚性棒相互固连 个约束方程(x2-x1)+(y2-y)=472可以选三个独立的广义坐标为:(3=4-1)两质 点连线中点的坐标(xC,y)和连线方向的角坐标,(这里所选的x2,yC,都不是某一质点 的坐标,而是属于整个质点系的广义坐标)即: 4=x=(x+x)/2,=y=(+y)/2,q2=g=aran[(y2-y)/(x一x Ex x,=qu -lcos q3, y=g2-Isin q3: x2=qu+ l cos q3, y2=92+ Isin q3 【思考】选取广义坐标的方法是不是唯一的? 1.3.约束广义坐标自由度(§2.1.§2.2.) 1.约束的实例 一般地,质点或质点系所受到的约束可以用约束方程来表示。此时独立坐标的数目相应减少。例如n 个质点组成的质点系受到k个约束:f(石,,…,)=0,=1,2…,k,此时独立坐标的数目减少为 S=(3n-k)。可以选用适当的s=(3-k)个独立的广义坐标。此时也可以看作质点系约束在3m维空间 中的(37-k)维超曲面上。我们再举几个约束的实例 【例5】用(细轻软不可伸长的)绳子连结两质点跨过轻滑轮(此力学体系位于竖直平面内,有4个 坐标) V,+ J2 三个约束方程: x=可以选独立的广义坐标为:q=x1就有:=q In=C-q 【例6】置于竖直墙和水平地面间的光滑刚性杆 y=2lsin o 选q=Q coS p y2=0 4, cos 8, y,=l sin 8, 【例7】双单摆(178页例1) (-x)+(y2-y)=2=4+g{9= 42= 4 sin, +1, sin 0 x2 )+(y-y2 )=1*=RcoS 2p-l cos p 【例8】碗边上的筷 y-x-R y,=-Rsin 2p+Isin p y2x2+R x,=Rcos 2 y2=-Rsin 2mp

7 【例 4】 在平面上运动的两质点 ( ) ( ) 1 1 2 2 x , y , x , y 以定长刚性棒相互固连 一个约束方程 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 x x y y l − + − = 4 可以选三个独立的广义坐标为：（3=4 − 1）两质 点连线中点的坐标 ( ) C C x , y 和连线方向的角坐标  ，（这里所选的 , , C C x y  都不是某一质点 的坐标，而是属于整个质点系的广义坐标）即： 1 1 2 ( )/ 2 C q x x x = = + ， 2 1 2 ( )/ 2 C q y y y = = + ， q y y x x 3 2 1 2 1 = = − −  arctan /   ( ) ( )   或 1 1 3 x q l q = − cos ， 1 2 3 y q l q = − sin ； 2 1 3 x q l q = + cos ， 2 2 3 y q l q = + sin 【思考】选取广义坐标的方法是不是唯一的？ 1．3．约束 广义坐标 自由度（§2．1．§2．2．） 1．约束的实例 一般地，质点或质点系所受到的约束可以用约束方程来表示。此时独立坐标的数目相应减少。例如 n 个质点组成的质点系受到 k 个约束： f r r r i k i n ( 1 2 , , , 0, 1,2, , ) = = ，此时独立坐标的数目减少为 s = (3n k − ) 。可以选用适当的 s = (3n k − ) 个独立的广义坐标。此时也可以看作质点系约束在 3n 维空间 中的 (3n k − ) 维超曲面上。我们再举几个约束的实例： 【例 5】用（细轻软不可伸长的）绳子连结两质点跨过轻滑轮（此力学体系位于竖直平面内，有 4 个 坐标） 三个约束方程： 1 2 1 0 2 0 y y C x x x x  + =   =  =   可以选独立的广义坐标为： 1 q y = 就有： 1 2 y q y C q  =   = − 【例 6】置于竖直墙和水平地面间的光滑刚性杆 2 2 2 2 1 1 2 4 0 0 x y l x y  + =   =  =  1 1 2 sin 2 cos y l x l    =   = 选 q =  【例 7]】双单摆（178 页例 1） ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 xyl x x y y l  + =    − + − =  1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 cos sin cos cos sin sin x l y l x l l y l l        =   =  = +    = + 选 1 1 2 2 q q    =   = 【例 8】 碗边上的筷 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x x y y l y x R y x R x y R  − + − =   − −  = − +   + =  1 1 2 2 cos 2 cos sin 2 sin cos 2 sin 2 x R l y R l x R y R        = −   = − +  =    = −

选独立的广义坐标q=Q 以上约束方程均不显含1,称为稳定约束。相反,显含t的约束方程f(G,…,,1)=0所描述的约束 称为非稳定约束。 x= at cos p 【例9】膨胀着的肥皂泡:约束方程为:x2+y2+2-a12=0利用球坐标{y= atsingsino =at cose 可选独立的广义坐标为:9=0 q2= 以上约束方程均不显含速度,f(,…,;)=0,称为几何约束。显含速度的约束方程: 0 所描述的约束称为微分约束(或运动约束)。有的微分约束可以经积分得到几何约束 【例10】沿直线作纯滚的圆轮受约束ⅸ-RO=0(在没有解出动力学方程之前)可以通过积分化成几 何约束x-RO-C=0,积分常数可由初条件确定。 在有滑动的情况下,就没有这个纯滚约束 我们再举几个例子 【例11】外方内圆平面刚体挂在钉上,可摆动: 可滑动s=22个独立坐标 不可滑动s 1个独立坐标 【例12】如例4。滑轮系统,滑轮也作为体系的一部分: 可滑动s=22个独立坐标 不可滑动s=11个独立坐标 几何约束和可积的微分约束称为完整约束。这种约束是加在坐标上的限制,利用完整约束可以将其中 个坐标表为其他坐标的函数,因此,每增加一个独立的完整约束,就减少一个独立的坐标。 【思考】可积的微分约束与几何约束有没有区别?(注意:可积的微分约束与几何约束还是有所区别。 可积的微分约束积分后所得到的约束方程含有积分常数,实际上是一族方程,应根据问题的初值或其他条件选 定方程。有的作者把可积分的微分约束称为半完整约束。) 有的微分约束则不可积分 【例13】冰刀问题:冰刀在平面上运动,两端点坐标为(x1,y)和(x2,y2),冰刀长度不变,有 几何约束:(x1-x2)2+(y1-n2)2=P2 中点速度沿冰刀方向,约束方程为 (+)12一=如mnp即+=当+是不可积分的 (x+x2)/2x-x2 x1-X2y1-y2 不可积分的微分约束又称为非完整约束。(由不可积分的微分约束不能得到f(x,y,x,1)=0这样的方

8 选独立的广义坐标 q =  以上约束方程均不显含 t ，称为稳定约束。相反，显含 t 的约束方程 f (r1 , ,rn ,t) = 0    所描述的约束 称为非稳定约束。 【例 9】膨胀着的肥皂泡：约束方程为： 0 2 2 2 2 2 x + y + z − a t = 利用球坐标 sin cos sin sin cos x at y at z at       =   =   = 可选独立的广义坐标为： 1 2 q q    =   = 以上约束方程均不显含速度， f r r t ( 1 , , ; 0 n ) = ，称为几何约束。显含速度的约束方程： f(r1 , ,rn ;r1 , ,rn ,t)= 0         所描述的约束称为微分约束（或运动约束）。有的微分约束可以经积分得到几何约束： 【例 10】沿直线作纯滚的圆轮受约束 −  = 0  x  R （在没有解出动力学方程之前）可以通过积分化成几 何约束 x − R −C = 0，积分常数可由初条件确定。 在有滑动的情况下，就没有这个纯滚约束。 我们再举几个例子。 【例 11】外方内圆平面刚体挂在钉上，可摆动： 可滑动 s = 2 2 个独立坐标 不可滑动 s =1 1 个独立坐标 【例 12】如例 4。滑轮系统，滑轮也作为体系的一部分： 可滑动 s = 2 2 个独立坐标 不可滑动 s =1 1 个独立坐标 几何约束和可积的微分约束称为完整约束。这种约束是加在坐标上的限制，利用完整约束可以将其中一 个坐标表为其他坐标的函数，因此，每增加一个独立的完整约束，就减少一个独立的坐标。 【思考】可积的微分约束与几何约束有没有区别？（注意：可积的微分约束与几何约束还是有所区别。 可积的微分约束积分后所得到的约束方程含有积分常数，实际上是一族方程，应根据问题的初值或其他条件选 定方程。有的作者把可积分的微分约束称为半完整约束。） 有的微分约束则不可积分： 【例 13】冰刀问题：冰刀在平面上运动，两端点坐标为 ( x y 1 1 , ) 和 ( x y 2 2 , ,) 冰刀长度不变，有 几何约束： ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 x x y y l − + − = 中点速度沿冰刀方向，约束方程为： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 / 2 tan / 2 y y y y x x x x  + − = = + − 即 1 2 1 2 1 2 1 2 x x y y x x y y + + = − − 是不可积分的。 不可积分的微分约束又称为非完整约束。(由不可积分的微分约束不能得到 f x y z t ( , , , 0 ) = 这样的方

程,这种约束不是对坐标所加的限制,而是对坐标和速度的关系所加的限制,所以不能减少独立坐标的数 目)非完整约束还可分为:线性非完整约束和非线性非完整约束。 至此我们只讨论了双面约束(不可解约束,固执约束:用等式描述的约束),还有一种用不等式描述 的约束称为单面约束(可解约束,非固执约束),由于它也不能减少独立坐标的数目,因此也可归入非完整 约束(教材39页)。 【例14】质点在球面外滑动,但可向外脱离球面 x2+y2+2≥R2质点脱离球面时,实际上约束不再存在。对坐标没有限制。 在本课程中主要研究双面约束、完整约東。 综上所述,在系统的点的位置和速度上,事先加上一些几何的或者运动学特性的限制,称为约束。约 束条件都可用 约束方程 F(x,y,,,,,)=0 或约束不等式F(x,y2,,,,1)201=1,2,…N,a=1,2,…d<3N 来表达。随着近代科技的发展,约束概念有了扩充。(参阅资料3第11页) 2.广义坐标。 在有约束的情况下,选用适当的坐标系,往往会简化问题。现在,我们来一般地讨论质点系的广义坐标。 广义坐标既称为坐标,当然要满足坐标的基本要求,即坐标的一组取值与质点系的位形之间有一一对应 的关系(广义坐标张成的空间称为位形空间)。广义坐标又应该是相互独立的,即全部约束方程都变为恒等式 义坐标也可以选取得不完全独立。称为有多余坐标的情形。(我们暂不考虑) 【例15】有多余坐标的四连杆机构。(参考资料3第12页例3) 广义坐标之所以称为“广义”,其含义:不仅可以是长度、角度,而且可以是面积、体积等;不仅可以是 几何量,而且可以是其他物理量:不仅可以从各质点的坐标中选取,而且可以引入不是属于任一质点,而是属 于整个质点系的广义坐标(§2.2)。 当然熟知的质点的曲线坐标如:球坐标,柱坐标,平面极坐标以至直角坐标也都是广义坐标的例子 广义坐标的优越性在于能简化问题,这就要求选取得适当。选取适当是指:和系统所受的约束互相协调 能使约束方程化为恒等式:;便于解决我们的问题(在很大程度上依靠经验,应注意积累经验)。 3.广义坐标的数学表述 一系统,N个质点,个完整约束:F(x2,y,,1)=0.1=12,…N,a=12,…<3N 选取n=3N-1个独立的广义坐标q1q2…qn,我们可以通过坐标变换引入广义坐标 =r(q1,q2…,qn,1)i=1,2,…,n或3N个直角坐标表达式。如果约束是稳定的,我们有可能(不是必须) 采用不显含t的坐标变换。例如:在稳定约束x2+y2-R=0下,引入广义坐标b,可以采用: x= rcos e x= rcos(6+ot) (不含1)但也可以采用: ly= Rsin(0+or) (含1) y=Rsin 8 因此上述坐标变换式显含t,并不能推断约束是不稳定的 如果约束是非稳定的,一般说,应采用显含t的变换式=F(q1,92…qn),i=1,2,…N

9 程，这种约束不是对坐标所加的限制，而是对坐标和速度的关系所加的限制，所以不能减少独立坐标的数 目)非完整约束还可分为：线性非完整约束和非线性非完整约束。 至此我们只讨论了双面约束（不可解约束，固执约束；用等式描述的约束），还有一种用不等式描述 的约束称为单面约束（可解约束，非固执约束），由于它也不能减少独立坐标的数目，因此也可归入非完整 约束（教材 39 页）。 【例 14】质点在球面外滑动，但可向外脱离球面。 2 2 2 2 x y z R + +  质点脱离球面时，实际上约束不再存在。对坐标没有限制。 在本课程中主要研究双面约束、完整约束。 综上所述, 在系统的点的位置和速度上，事先加上一些几何的或者运动学特性的限制，称为约束。约 束条件都可用 约束方程 F x y z x y z t  ( i i i i i i , , , , , , 0 ) = 或约束不等式 F x y z x y z t ( i i i i i i , , , , , , 0 )  i N = 1,2, ,  =  1,2, 3 d N 来表达。随着近代科技的发展，约束概念有了扩充。(参阅资料 3 第 11 页) 2．广义坐标。 在有约束的情况下，选用适当的坐标系，往往会简化问题。现在，我们来一般地讨论质点系的广义坐标。 广义坐标既称为坐标，当然要满足坐标的基本要求，即坐标的一组取值与质点系的位形之间有一一对应 的关系(广义坐标张成的空间称为位形空间)。广义坐标又应该是相互独立的，即全部约束方程都变为恒等式。 广义坐标也可以选取得不完全独立。称为有多余坐标的情形。（我们暂不考虑） 【例 15】有多余坐标的四连杆机构。（参考资料 3 第 12 页例 3） 广义坐标之所以称为“广义”，其含义：不仅可以是长度、角度，而且可以是面积、体积等；不仅可以是 几何量，而且可以是其他物理量；不仅可以从各质点的坐标中选取，而且可以引入不是属于任一质点，而是属 于整个质点系的广义坐标（§2．2）。 当然熟知的质点的曲线坐标如：球坐标，柱坐标，平面极坐标以至直角坐标也都是广义坐标的例子。 广义坐标的优越性在于能简化问题，这就要求选取得适当。选取适当是指：和系统所受的约束互相协调， 能使约束方程化为恒等式；便于解决我们的问题（在很大程度上依靠经验，应注意积累经验）。 3．广义坐标的数学表述： 一系统， N 个质点， l 个完整约束： F x y z t i N l N  ( i i i , , , 0, 1,2, , 1,2, 3 ) = = =   选 取 n N l = − 3 个 独 立 的广 义 坐 标 1 2 , n q q q ， 我 们 可 以通 过 坐 标变 换 引 入广 义 坐 标 ： ri ri (q1 ,q2 ,  ,qs ,t),i 1,2,  ,n   = = 或 3N 个直角坐标表达式。如果约束是稳定的，我们有可能（不是必须） 采用不显含 t 的坐标变换。例如：在稳定约束 2 2 2 x y R + − = 0 下，引入广义坐标  ，可以采用： cos sin x R y R    =   = （不含 t ）但也可以采用： cos( ) sin( ) x R t y R t      = +   = + （含 t ） 因此上述坐标变换式显含 t ，并不能推断约束是不稳定的。 如果约束是非稳定的，一般说，应采用显含 t 的变换式 r r q q q t i i n = ( 1 2 , , ) ， i N = 1,2

才能使非稳定约束化为恒等式 4.广义速度:可以用广义坐标直接算出: 对上述坐标变换式求导数,可得速度变换式(N个矢量关系式或3N个直角坐标关系式) 点an4+a1=12…n其中为广义速度。进一步可得 即第一个经典 Lagrange关系。(在拉格朗日力学中,在运用偏导数符号时,我们总是把qn,q视作相互独立的变量。) 以上推导,无论约束是否稳定,无论坐标变换式是否显含【,都是成立的。 对上式继续求导数,可得加速度变换 ar d ar aq,at q dt at ar i a-r k到 Cqr dq q1 9+2 og,oar2分,为广义加速度 也可写成3N个直角坐标表示的公式。以上推导过程中实际上已经导出了第二个经典 Lagrange关系: d ar ar a-r aqaq k aq. at 5.完整体系的自由度 一般地说,如果质点系有n个质点,有k个完整约束,则应有s=(3n-k)个独立的广义坐标 s叫做这个(完整)体系的自由度,(这里我们没有考虑非完整约束。)和独立的广义坐标的数目相同。 作业:第一章习题 质点运动学:28页1.2:1.7:*1.8;1.12;补充题:参考资料1: 质点系运动学;约束:28页1.1

10 才能使非稳定约束化为恒等式。 4．广义速度：可以用广义坐标直接算出： 对上述坐标变换式求导数，可得速度变换式（ N 个矢量关系式或 3N 个直角坐标关系式）： 1 n i i i i s s s r r v r q q t =   = = +    i = 1,2,  , n 其中 i q  为广义速度。进一步可得 i i s s r r q q   =   即第一个经典 Lagrange 关系。（在拉格朗日力学中，在运用偏导数符号时，我们总是把 q q ,  视作相互独立的变量。） 以上推导，无论约束是否稳定，无论坐标变换式是否显含 t ，都是成立的。 对上式继续求导数，可得加速度变换： 1 n i i i i i s s s d r r a v r q dt q t =     = = = +        1 n i i i s s s s s d d r r r q q dt q q dt t =        = + +             2 2 2 2 1 1 1 1 2 n n n n i i i i s k s s s k s s s k s s r r r r q q q q = = = = q q q q t t     = + + +          s q  为广义加速度。 也可写成 3N 个直角坐标表示的公式。以上推导过程中实际上已经导出了第二个经典 Lagrange 关系： i i s s d r r dt q q   =   2 2 1 n i i k k k s s r r q q q q t =       = +        5．完整体系的自由度 一般地说，如果质点系有 n 个质点，有 k 个完整约束，则应有 s = (3n − k) 个独立的广义坐标。 s 叫做这个（完整）体系的自由度，（这里我们没有考虑非完整约束。）和独立的广义坐标的数目相同。 作业：第一章习题 质点运动学：28 页 1．2； 1．7；*1．8；1．12；补充题：参考资料 1： 质点系运动学；约束：28 页 1．1；