第七讲 机械能(二) 一维势能曲线 和碰撞再研究
第七讲 机械能（二） ——一维势能曲线 和碰撞再研究
本讲导读 维情况下存在势能函数的条件 总能量、动能和势能的图示 平衡点的稳定性相图 碰撞中的能量转化
本讲导读 • 一维情况下存在势能函数的条件 • 总能量、动能和势能的图示 • 平衡点的稳定性相图 • 碰撞中的能量转化
维势能曲线 物体一维运动的势能曲线 V=v(x) E 对一维运动只要力是坐标 B 的单值函数一定是保守力 A”B B (i)保守力f=_d(x) 指向势能下降的方向,大小正比于势能曲线的斜率
一、一维势能曲线 V =V(x) 物体一维运动的势能曲线 x0 A’ A’’ A B’ B’’ C B E1 E2 V(x) x 对一维运动,只要力是坐标 的单值函数,一定是保守力. （i）保守力 x V x f d d ( ) = − 指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率
(ⅱi)总能量E水平线在各点 V(x) 相距下边势能曲线的高度, 代表质点在该处的动能由E 于经典动能为正,所以水平 线低于势能曲线的区间,是E4 B A”B B 具有该能量的质点不能达到 的地段 x (ⅲ)势能曲线在局部的最低(极小)点,都是稳定平衡 点总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范 围内活动势能曲线在局部的最高(极大)点,都是不稳 定平衡点.总能量略高于它们的质点,都会远离而去
x0 A’ A’’ A B’ B’’ C B E1 E2 V(x) x （ii）总能量E水平线在各点 相距下边势能曲线的高度， 代表质点在该处的动能. 由 于经典动能为正, 所以水平 线低于势能曲线的区间, 是 具有该能量的质点不能达到 的地段. （iii）势能曲线在局部的最低(极小)点, 都是稳定平衡 点. 总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范 围内活动. 势能曲线在局部的最高(极大)点, 都是不稳 定平衡点. 总能量略高于它们的质点, 都会远离而去
(iv)在势能曲线任何极小点附近,质点可能围绕着 它做小振动可以如下计算振动周期 (v)以A点xo)为例,计算小振动的振动周期 显然势能在这里一阶导数为零,二阶导数大于零在 △x=xx0不大的范围内,把势能函数展开成泰勒级数: (x)=(x)+(x)x+"(x)(△x)+ V(x)+"(xn)(△x)2+
（iv）在势能曲线任何极小点附近, 质点可能围绕着 它做小振动. 可以如下计算振动周期 （v）以A点(x0 )为例, 计算小振动的振动周期 显然势能在这里一阶导数为零, 二阶导数大于零. 在 x=x-x0不大的范围内, 把势能函数展开成泰勒级数: ( ) ( ) = + + = + + + 2 2 0 1 0 2 2 0 1 0 0 ( ) ''( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) V x V x x V x V x V x x V x x
对于小振动我们忽略三阶及以上的小量由于坐标原 点选择具有任意性,我们设x=0,△x=x,V(x)=0,上式简 化为:(x)=(O)x2,这代表一根抛物线将机 械能守恒定律改写为 2mv=E-V(x)=E-v"(0)x2 由此得方程: dx 2E1V"(0 2E 或者 dt dt m 2E 2E
对于小振动,我们忽略三阶及以上的小量. 由于坐标原 点选择具有任意性, 我们设x0=0, x=x, V(x0 )=0,上式简 化为: ,这代表一根抛物线. 将机 械能守恒定律改写为 2 2 1 V(x) = V''(0)x 2 2 2 1 2 1 mv = E −V(x) = E − V''(0)x 由此得方程: t m E x E V x d 2 2 ''(0) 1 d 2 = − = = − 2 2 ''(0) 1 2 d d x E V m E v t x 或者
为了积分方便,换元令 on p 从而 2E √2 E/v(0)cos d sin p=cos pp 2E 这样,上述方程化为 do V"(0) dt 两边积分 do dt, then o t+po m10
为了积分方便, 换元令 sin 2 ''(0) 2 x = E V 从而 1 sin cos 2 ''(0) d 2 / ''(0) cos d , 1 2 2 = − x = − = E V x E V 这样, 上述方程化为: t m V d ''(0) d = 两边积分 ''(0) d , then ''(0) d 0 0 0 = = + t m V t m V t
还原到x,有 2E 2E x sIn t+po V"(0 sin- \V 周期T的意思是,当t变化到t+T,q变化到@+27,x 回到原来的数值所以 T=2丌 V"(0)
= = + 0 ''(0) sin ''(0) 2 sin ''(0) 2 t m V V E V E x 还原到x, 有 周期T的意思是, 当 t 变化到t + T, 变化到 +2 , x 回到原来的数值. 所以 ''(0) 2 V m T =
例1、单摆是由一质量为m的质点用长为 l的轻杆悬挂在某点构成的假定弦不能 伸长且质量可以忽略()以角度参数 做势能曲线说明图上哪个碗围是小球 能够达到的;(2对于H=Emgl=0,1,1,2, 35,试做角速度与角位移曲线,并讨论它 / 们各自对应的单摆运动情况;(3)求小振 幅时的周期 解:(1)单摆的重力势能为(O)=mg(-cose) 曲线如图所示,它在=0处有极小值,即这里是稳定平衡点 表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表 动能E因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线低于水 平线的范围内才能实现,则虚线的位置标示着振幅
例1、单摆是由一质量为m的质点用长为 l的轻杆悬挂在某点构成的. 假定弦不能 伸长,且质量可以忽略.(1)以角度为参数 做势能曲线,说明图上哪个范围是小球 能够达到的; (2)对于H = E/mgl =0.1, 1, 2, 3.5, 试做角速度与角位移曲线, 并讨论它 们各自对应的单摆运动情况; (3) 求小振 幅时的周期. l mg 解: (1)单摆的重力势能为 V() = mgl(1−cos) 曲线如图所示,它在 = 0处有极小值,即这里是稳定平衡点. 表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表 动能Ek . 因为动能恒正, 所以运动只能在势能曲线低于水 平线的范围内才能实现, 则虚线的位置标示着振幅
Mathematica 4-[Untitled-1*] 当H=0.1时振幅很 File Edit Cell Format Input Kernel Find Window Hel 小,曲线是一个椭圆;mtt1 H=2对应于振幅为兀 Plot[1-Cos,(x-1.5n,15n 的情况,曲线仍闭合, PLo√0.1-1+C0sx,√0.1-1+c0s[x,√1-1+Cos[x], 1-1+Cos[x],2-1+Cos【x];-V2-1+Cos[x] 但两端凸出略呈尖 35-1+c0sx],-√3.5-1+cos[x1}x,-1.5Pi,1.5Pi) 角状;H=3.5时曲线 分裂成上下两支,分 gl 别对应于摆锤顺时 针和逆时针的旋转; H=2是介于往复摆 0.5 动与单向旋转之间 的临界状态,它在两 端交叉成尖角,此处 对应于摆锤在正上 方的不稳定位置这 条把两种运动形式 0.5 分开的曲线称为 “相分界线
V/mgl 当H = 0.1时振幅很 小,曲线是一个椭圆; H = 2对应于振幅为 的情况, 曲线仍闭合 , 但两端凸出略呈尖 角状; H = 3.5时曲线 分裂成上下两支, 分 别对应于摆锤顺时 针和逆时针的旋转; H = 2是介于往复摆 动与单向旋转之间 的临界状态, 它在两 端交叉成尖角 ,此处 对应于摆锤在正上 方的不稳定位置 . 这 条把两种运动形式 分开的曲线称为 “相分界线”